สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส

สามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (อังกฤษ: Pythagorean triple) ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกสามจำนวน คือ a, b และ c โดยที่ a² + b² = c² สามสิ่งอันดับดังกล่าวนี้มักถูกเขียนเป็น (a, b, c) ซึ่งตัวอย่างที่รู้จักกันดี คือ (3, 4, 5) ถ้า (a, b, c) เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส แล้วจะได้ (ka, kb, kc) ซึ่งจะมี k เป็นจำนวนเต็มบวกใด ๆ โดยถ้ารูปสามเหลี่ยมมีความยาวด้านเท่ากับค่าของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสแล้วจะเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งเรียกว่า รูปสามเหลี่ยมพีทาโกรัส

ชีวลักษณ์ (Animation) สาธิตค่าสามค่าที่น้อยที่สุดของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส คือ 3² + 4² = 5²

ปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (primitive Pythagorean triple) คือ รูปสามเหลี่ยมที่มีด้าน a, b และ c เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์ (coprime) ซึ่งกล่าวคือ ไม่มีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 และ -1^[1] เช่น (3, 4, 5) เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ซึ่งในขณะที่ (6, 8, 10) ไม่เป็นเนื่องจากมีตัวประกอบร่วมนอกจาก 1 คือ 2 และสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถย่อ/ขยาย ให้เป็นปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสที่มีเอกลักษณ์ได้ โดยการหาร (a, b, c) ด้วยตัวหารร่วมมาก (greatest common divisor) ซึ่งในทางกลับกัน สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสทุกอันสามารถหาได้โดยการคูณองค์ประกอบของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสด้วยจำนวนเต็มบวก

ชื่อของสามสิ่งอันดับของพีทาโกรัสนั้นมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean theorem) ซึ่งอธิบายว่ารูปสามเหลี่ยมมุมฉากทุกรูปนั้นมีความความสัมพันธ์ระหว่างด้านประกอบมุมฉากทั้งสองด้านและด้านตรงข้ามมุมฉาก ตามสูตร ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$ ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสสามอธิบายความยาวด้านทั้งสามที่เป็นจำนวนเต็มของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่รูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม จะไม่อยู่ในรูปของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส ตัวอย่างเช่น รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านยาว ${\displaystyle a=b=1}$ และ ${\displaystyle c={\sqrt {2}}}$ ซึ่งรูปสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก แต่ ${\displaystyle (1,1,{\sqrt {2}})}$ ไม่เป็นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเนื่องจากรากที่สองของสองไม่เป็นจำนวนเต็มหรือจำนวนตรรกยะ อีกเหตุผลหนึ่งคือ ${\displaystyle 1}$ และ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ไม่มีตัวคูณร่วมที่เป็นจำนวนเต็มเพราะ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

สามสิ่งอันดับพีทาโกรัสนั้นเป็นที่รู้จักกันตั้งแต่ยุคโบราณ รายงานที่เก่าที่สุดที่มีการบันทึกมาจาก Plimpton 322 ซึ่งเป็นแผ่นจารึกดินเหนียวของชาวบาบิโลเนียที่มีอายุประมาณปี 1800 ก่อนคริสตกาลที่ถูกเขียนด้วยระบบเลขฐานหกสิบ (sexagesimal)^[2]

เมื่อหาคำตอบในรูปของจำนวนเต็ม สมการ a² + b² = c² คือ สมการไดโอเฟนไทน์ (Diophantine equation) ดังนั้นสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสเป็นหนึ่งในการหาคำตอบที่เก่าแก่ที่สุดที่รู้จักกันในชื่อของ สมการไม่เชิงเส้นไดโอเฟนไทน์ (nonlinear Diophantine equation)

ตัวอย่าง

มีค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสจากจำนวนนับถึงเลข 100 มีทั้งหมด 16 ค่า ได้แก่

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(8, 15, 17)	(7, 24, 25)
(20, 21, 29)	(12, 35, 37)	(9, 40, 41)	(28, 45, 53)
(11, 60, 61)	(16, 63, 65)	(33, 56, 65)	(48, 55, 73)
(13, 84, 85)	(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(65, 72, 97)

ค่าของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสอื่น ๆ เช่น (6, 8, 10) ไม่อยู่ในรายชื่อ เนื่องจากไม่เป็นค่าปฐมฐาน เพราะ (6, 8, 10) เป็นพหุคูณของค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัส (3, 4, 5)

และค่าเหล่านี้คือค่าของปฐมฐานของสามสิ่งอันดับพีทาโกรัสจากจำนวนนับถึงเลข 300 ได้แก่

(20, 99, 101)	(60, 91, 109)	(15, 112, 113)	(44, 117, 125)
(88, 105, 137)	(17, 144, 145)	(24, 143, 145)	(51, 140, 149)
(85, 132, 157)	(119, 120, 169)	(52, 165, 173)	(19, 180, 181)
(57, 176, 185)	(104, 153, 185)	(95, 168, 193)	(28, 195, 197)
(84, 187, 205)	(133, 156, 205)	(21, 220, 221)	(140, 171, 221)
(60, 221, 229)	(105, 208, 233)	(120, 209, 241)	(32, 255, 257)
(23, 264, 265)	(96, 247, 265)	(69, 260, 269)	(115, 252, 277)
(160, 231, 281)	(161, 240, 289)	(68, 285, 293)