Komplikadong bilang

Ang masalimuot na bilang o bilang na hugnay^[1] (Italyano: numero complesso, Aleman: komplexe Zahl, Ingles: complex number, Kastila: número complejo) ay isang bilang ay isang bilang na maisusulat sa anyong ${\displaystyle a+bi}$, kung saan tunay na bilang ang ${\displaystyle a}$ at ${\displaystyle b}$, at itinuturing ang ${\displaystyle i}$ bilang tumbas sa ${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$.^[2]

Paglalarawan ng bilang na masalimuot.

Ang unang mga sipnayanong nakaisip nito ay maaaring sina Gerolamo Cardano at Raffaele Bombelli. Namuhay sila noong ika-16 na dantaon. Maaaring si Leonhard Euler ang nagpakilala ng pagsulat ng ${\displaystyle \mathrm {i} }$ para sa ganyang bilang.

Maaari nang maisulat ang bilang na masalimuot na ${\displaystyle a+bi}$^[2] (o ${\displaystyle a+b\cdot i}$ ), kung saan ang a ay tinatawag na tunay na bahagi ng bilang, at ang b ay tinatawag na bahaging guni-guni o imahinaryo. Sa pangkaraniwan, isinusulat ang masalimuot na numero bilang kapid na ayos na (a, b). Kapwa tunay na mga bilang ang a at ang b.

Ang alin mang tunay na bilang ay maaaring payak na isulat bilang ${\displaystyle a+0\cdot i}$ o bilang isang kapid na ayos (a, 0).^[2]

Maaari sa mga bilang na masasalimuot ang adisyon, subtraksiyon, multiplikasyon, dibisyon (basta't hindi sero ang dibisor o panghati), at eksponensiyasyon (pagtataas ng mga bilang sa eksponente). May ilang mga kalkulasyon na maaari ring magawa para sa mga bilang na masasalimuot.

Ang tangkas ng lahat ng mga bilang na masasalimuot ay karaniwang isinusulat na C.

Motibasyon

Unang ginamit ang mga bilang na hugnay sa mga dawaking tumbasang tulad ng ${\displaystyle x^{2}+1=0}$ (alalaong baga, mga tumbasang may talangi na mas maliit sa 0) kung saan walang tunay na bilang na makakalutas sa kanila. Sagayon, linikha ng mga sipnayanon ang isa pang bilang na ${\displaystyle i:={\sqrt {-1}}}$ bilang kalutasan. Samakatuwid, ${\displaystyle i^{2}+1=-1+1=0}$. Kinakailangan sila sa paglutas ng iilang buuking tumbasan, na bagaman may tunay na ugat, nararapat na tuusin ang halaga ng mga pariugat ng mga bilang na baling o negatibo. Halimbawa, may lutas na ${\displaystyle x=4}$ ang tumbasang ${\displaystyle x^{3}-15x-4=0}$, nguni, kung gagamitin ang sanyo ni Cardan, makukuha ang $${\displaystyle x={\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {-121}}}}+{\sqrt[{3}]{2+{\sqrt {-121}}}},}$$ kung saan kinakailangang kunin ang halaga ng isang bilang na baling o negatibo upang makuha ang sagot.