Makatwirang bilang

Sa matematika, ang isang bilang na tagwayin^[1], makatwirang bilang o bilang na rasyonal (Ingles:rational number) ay isang bilang na maisusulat sa anyong ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$, kung saan buumbilang ang ${\displaystyle p}$ at ${\displaystyle q}$, at ${\displaystyle q\neq 0}$.^[2] Lahat ng rasyonal na bilang ay tunay na bilang, at maaaring maging positibo o negatibo. Ang isang bilang na hindi makatwiran o rasyonal ay tinatawag na numerong irasyonal o di-makatwirang bilang. Karamihan sa mga bilang na kinakaharap ng mga tao sa pang-araw-araw na buhay ay rasyonal. Kasama rito ang mga praksiyon at mga buumbilang.

Pagsusulat ng mga makakatwirang bilang

Anyong praksiyon

Lahat ng mga makakatwirang bilang ay maisusulat bilang isang praksiyon. Gawing halimbawa ang 1.5. Maaari itong isulat na ${\displaystyle 1{\frac {1}{2}}}$, ${\displaystyle {\frac {3}{2}}}$, o ${\displaystyle 3/2}$.

Kasama sa marami pang mga halimbawa ng mga praksiyon na makakatwirang bilang ang ${\displaystyle {\frac {1}{7}}}$, ${\displaystyle {\frac {-8}{9}}}$, at ${\displaystyle {\frac {2}{5}}}$.

Nagwawakas na mga desimal

Ang nagwawakas, nagtatapos, tumitigil, o humihintong desimal ay isang desimal na may partikular na bilang ng mga tambilang (digit sa Ingles) sa kanan ng tuldok na desimal. Halimbawa ng mga ito ang 3.2, 4.075, at -300.12002. Lahat ng mga ito ay makatwiran.

Paulit-ulit na mga desimal

Ang isang desimal na paulit-ulit ay isang desimal na kung saan may mga walang katapusang maraming mga tambilang sa kanan ng tuldok na desimal, subalit sumusunod sila sa isang paulit-ulit na pasimundan o padron. Isang halimbawa nito ay ang ${\displaystyle {\frac {1}{3}}}$. Bilang isang desimal, isinusulat ito na 0.3333333333... Ang mga tuldok o elipsis ay nagsasabi na ang bilang na 3 ay umuulit.

Kung minsan, isang pangkat ng mga tambilang ang umuulit. Isang halimbawa ang ${\displaystyle {\frac {1}{11}}}$. Bilang isang desimal, isinusulat ito na 0.09090909... Sa ganitong halimbawa, ang pangkat ng mga tambilang na 09 ang paulit-ulit.

Gayundin, kung minsan ang mga tambilang ay umuulit pagkaraan ng ibang pangkat ng mga tambilang. Isang halimbawa ang ${\displaystyle {\frac {1}{6}}}$. Isinusulat ito na 0.16666666... Sa ganitong halimbawa, ang tambilang na 6 ang nauulit, kasunod ng tambilang na 1.

Kapag sinubukan ito sa kalkulador, paminsan-minsan itong maaaring gumawa ng isang kamalian sa pagbubuo o kamalian sa pag-ra-round off sa hulihan. Halimbawa, maaaring ipakita ng kalkulador na ang ${\displaystyle {\frac {2}{3}}=0.6666667}$, kahit na walang 7. Binubuo nito ang 6 sa hulihan magpahanggang 7.

Di-makatwirang mga bilang

Ang mga tambilang pagkaraan ng tuldok na desimal sa loob ng isang irasyonal o di-makatwirang bilang ay hindi umuulit. Halimbawa, ang unang mangilan-ngilang mga tambilang ng π (Pi) ay 3.1415926535... Hindi umuulit ang mga tambilang, at hindi uulit kaylanman, gaano mang kalayo ang marating sa kanan ng tuldok ng desimal.

Aritmetika

• Kapag nagdaragdag o nagbabawas ng dalawang makatwirang bilang, palaging makakakuha ng ibang makatwirang bilang.

• Kapag nagpaparami ng dalawang makatwirang bilang, palaging makakakuha ng ibang makatwirang bilang.

• Kapag hinahati ang makakatwirang mga bilang, palaging makakakuha ng ibang makatwirang bilang, basta't hindi hinahati sa pamamagitan ng sero.

• Magkatumbas ang dalawang makakatwirang mga bilang na ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ at ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$ kung ang ${\displaystyle ad=bc}$