Aristarkus eşitsizliği

Aristarchus eşitsizliği (Yunan gökbilimci ve matematikçi Sisamlı Aristarkus'tan sonra; MÖ 310 - MÖ 230), eğer ${\displaystyle \alpha }$ ile ${\displaystyle \beta }$ dar açılar (0 ile dik açı arasında) ve ${\displaystyle \alpha <\beta }$ ise,

${\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta }}<{\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan \alpha }{\tan \beta }}}$.

olduğunu belirten bir trigonometri yasasıdır. Batlamyus, kiriş tablosunu oluştururken bu eşitsizliklerden ilkini kullandı.^[1]

İspat

Kanıt, daha bilinen eşitsizliklerin bir sonucudur: ${\displaystyle 0<\sin(\alpha )<\alpha <\tan(\alpha )}$, ${\displaystyle 0<\sin(\beta )<\sin(\alpha )<1}$ ve ${\displaystyle 1>\cos(\beta )>\cos(\alpha )>0}$.

İlk eşitsizliğin kanıtı

Yukarıda belirtilen temel eşitsizlikleri kullanarak önce bunu kanıtlayabiliriz

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\sin(\beta )}}<{\frac {\alpha }{\beta }}}$.

İlk önce eşitsizliğin ${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )}{\alpha }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}}$'a eşdeğer olduğunu not ediyoruz, bu eşitsizlik; ${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}}$ olarak yeniden yazılabilir.

Şimdi bunu göstermek istiyoruz

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}<\cos(\beta )<{\frac {\sin(\beta )}{\beta }}}$.

İkinci eşitsizlik basitçe ${\displaystyle \beta <\tan \beta }$'dir. İlki doğrudur çünkü:

${\displaystyle {\frac {\sin(\alpha )-\sin(\beta )}{\alpha -\beta }}={\frac {2\cdot \sin \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)}{\alpha -\beta }}<{\frac {2\cdot \left({\frac {\alpha -\beta }{2}}\right)\cdot \cos(\beta )}{\alpha -\beta }}=\cos(\beta )}$.

İkinci eşitsizliğin kanıtı

Şimdi ikinci eşitsizliği göstermek istiyoruz, yani:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}<{\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}}$.

İlk olarak, temel eşitsizlikler nedeniyle şunlara sahip olduğumuzu not ediyoruz:

${\displaystyle \beta <\tan(\beta )={\frac {\sin(\beta )}{\cos(\beta )}}<{\frac {\sin(\beta )}{\cos(\alpha )}}}$

Sonuç olarak, önceki denklemde ${\displaystyle 0<\alpha -\beta <\alpha }$ eşitsizliğini kullanarak (${\displaystyle \beta }$ ile ${\displaystyle \alpha -\beta <\alpha }$ ile değiştirerek) aşağıdaki ifadeyi elde ederiz:

${\displaystyle {\alpha -\beta }<{\frac {\sin(\alpha -\beta )}{\cos(\alpha )}}=\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}$.

Nihayetinde aşağıdaki sonuca varıyoruz:

${\displaystyle {\frac {\alpha }{\beta }}={\frac {\alpha -\beta }{\beta }}+1<{\frac {\tan(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )}{\sin(\beta )}}+1={\frac {\tan(\alpha )}{\tan(\beta )}}.}$

Ayrıca bakınız

• Samoslu Aristarkus
• Eratosthenes
• Posidonius
• Trigonometri tarihi