Ortak bölen

Matematikte, sıfır olmayan iki veya daha fazla pozitif tam sayının en büyük ortak böleni, tam sayıların hepsini de bölen en büyük pozitif tam sayıdır. Örneğin; 8 ve 12'nin ebob'u 4'tür.^[1][2]

En büyük ortak bölen aynı zamanda en büyük ortak faktör (ebof),^[3] en yüksek ortak faktör (eyof)^[4] ile de isimlendirilir.

Genel bakış

Gösterim

A ve B iki tam sayı ise, en büyük ortak bölenleri ebob(A, B) şeklinde gösterilir. A, B, C ve D tam sayılarının en büyük ortak böleni ise ebob(A, B, C, D) şeklinde gösterilir.

Örnek

54 ve 24'ün en büyük ortak böleni nedir?

54 sayısı, iki tam sayının çarpımı şeklinde ifade edilebilir:

${\displaystyle 54\times 1=27\times 2=18\times 3=9\times 6}$

Böylece 54'ün bölenleri: ${\displaystyle 1,2,3,6,9,18,27,54}$

Benzer şekilde 24'ün bölenleri ise: ${\displaystyle 1,2,3,4,6,8,12,24}$

Bunların en büyüğü 6'dır. Yani 54 ve 24'ün en büyük ortak böleni

${\textstyle ebob(54,24)=6}$ olur.

Örnek 2

32 ile 16'nın en büyük ortak böleni nedir?

32 sayısı, 16'nın bir katıdır ve biri diğerinin katı olan iki sayının en büyük ortak böleni küçük sayıya eşittir. Bu yüzden burada en büyük ortak bölen 16'dır.

Geometrik görünüm

Örneğin ${\displaystyle 24\times 60}$ dikdörtgen bir alan yandaki görseldeki gibi bir ızgaraya bölünebilir: 1'e 1 kare, 2'ye 2 kare, 3'e 3 kare, 4'e 4 kare… 6'ya 6 kare… 12x12 kare. Bu nedenle 12 sayısı 24 ve 60'ın en büyük ortak bölenidir.

24x60

Böylece 24x60 bir dikdörtgen alan, bir kenarı (24/12 = 2) iki kare ve diğer kenarı (60/12 = 5) beş kare olan 12x12‘lik bir ızgaraya bölünebilir.

Uygulamalar

Kesirlerin indirgenmesi

En büyük ortak bölen, kesirleri en küçük sayılara indirgemede yararlıdır.^[5] Örneğin 42 ve 56 sayılarının en büyük ortak böleni yani ebob(42, 56) = 14'dür bu nedenle 42/56 kesiri şu şekilde 3/4'e indirgenir:

${\displaystyle {\frac {42}{56}}={\frac {3\cdot 14}{4\cdot 14}}={\frac {3}{4}}.}$

En küçük ortak kat

İki tam sayının sıfır olmayan en küçük ortak katsayısı, bu sayıların en büyük ortak böleninden şu bağıntı kullanılarak hesaplanır:

${\displaystyle \operatorname {ekok} (a,b)={\frac {|a\cdot b|}{\operatorname {ebob} (a,b)}}.}$

Hesaplama

Asal çarpanlara ayırma

İki sayının asal çarpanlarını bulup sonra bu çarpanları karşılaştırarak En büyük ortak bölenleri (EBOB) hesaplanabilir. Örneğin ebob(48, 180) hesaplamak için önce 48 ve 180 sayılarının şu asal çarpanları buluruz;

48 = 2⁴ · 3¹ ve 180 = 2² · 3² · 5¹.

Bu durumda Venn şemasında gösterildiği gibi EBOB sayısı;

2^min(4,2) · 3^min(1,2) · 5^min(0,1) = 2² · 3¹ · 5⁰ =12'dir.

Karşılık gelen En küçük Ortak Kat (EKOK) sayısı ise 2^max(4,2) · 3^max(1,2) · 5^max(0,1) = 2⁴ · 3² · 5¹ = 720'dir.

^[6]

Bu yöntem yalnızca küçük sayılar için uygundur çünkü sayıları asal çarpanlarına ayırma çok uzun sürer.

• Ortak kat