Gelfond sabiti

sayısına Aleksandr Gelfond'a atfen Gelfond sabiti adı verilmiştir; e^π e sayısının π'nci kuvvetidir ve aşkın sayıdır. Gelfond-Schneider teoremi ile kanıtlanabilir. ${\displaystyle e^{\pi }\;=\;(e^{i\pi })^{-i}\;=\;(-1)^{-i}}$ bağıntısında i sayısı imajiner kısımdır ve -i'de cebirsel bir sayıdır, ama ${\displaystyle e^{\pi }}$ cebirsel sayılar'dan değildir, yani transandantal sayılar dandır ve Hilbert'in yedinci teoreminde bahsi geçer. Matematiksel açıdan estetik olan yönü;

${\displaystyle e^{\pi }\;=\;i^{-2i}}$ veya ${\displaystyle e^{{\pi }/2}\;=\;i^{-i}}$

${\displaystyle e^{\pi }\approx 23.14069263277926\dots \,.}$

ifadesi ile daha iyi anlaşılabilir. Çünkü eşitliğin bir tarafı tamamen reel'ken diğer tarafı tamamen imajinerdir. (hangisi gerçek?!)

Nümerik değeri

Gelfond sabiti onluk sayı sisteminde açılımında:

${\displaystyle e^{\pi }\approx 23.14069263277926\dots \,.}$

${\displaystyle \scriptstyle k_{0}\,=\,{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}}$ olarak tanımlarsak;

${\displaystyle k_{n}={\frac {1-{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}{1+{\sqrt {1-k_{n-1}^{2}}}}}}$

${\displaystyle n>1}$ için bu dizi^{[kaynak belirtilmeli]}

${\displaystyle (4/k_{n})^{2^{1-n}}}$ şeklinde gösterilebilir.

bununda limiti ${\displaystyle e^{\pi }}$ şeklindedir.

Geometrik gariplik

n-boyutlu kürenin (veya n-sphere) hacmi

${\displaystyle V_{n}={\pi ^{\frac {n}{2}}R^{n} \over \Gamma ({\frac {n}{2}}+1)}.}$

şeklinde verilir.

Birim veya üzeri tüm boyutlardaki kürenin hacmini özetleyen formül

${\displaystyle V_{2n}={\frac {\pi ^{n}}{n!}}\ }$

Birim ve üzerindeki boyutlardaki kürelerin hacimlerinin toplamını veren formül:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }V_{2n}=e^{\pi }.\,}$

Sayısal gariplik

${\displaystyle e^{\pi }-\pi =19.99909997918947\ldots \,.}$

Bazı değerler

${\displaystyle e^{\frac {\pi }{2}}\;=\;i^{-i}\approx 4.81047738096535\dots \,.}$

${\displaystyle e^{-{\frac {\pi }{2}}}\;=\;i^{i}\approx 0.20787957635076\dots \,.}$

${\displaystyle e^{-{\frac {\pi ^{2}}{4}}}\;=\;e^{{(\ln i)}^{2}}\;=\;i^{\ln i}\approx 0,1076929315\dots \,.}$

e^π ile π^e arasındaki ilişki:

${\displaystyle \pi ^{e}\;=\;e^{{e}\,\ln {\pi }}\approx 22,4591577183610454\dots \,.}$

${\displaystyle \;{{e}\,\ln {\pi }}\approx 3,111698447198\dots \,.}$

${\displaystyle {\pi }-\;{{e}\,\ln {\pi }}\approx 0,0298942063913\dots \,.}$

${\displaystyle e^{{\pi }-\;{{e}\,\ln {\pi }}}\;={\frac {e^{\pi }}{\pi ^{e}}}\;=1,03034552421621}$

${\displaystyle e^{\;{{e}\,\ln {\pi }}-{\pi }}\;={\frac {\pi ^{e}}{e^{\pi }}}\;=0,970548205914423}$

${\displaystyle {\frac {\pi ^{e}}{e^{\pi }}}+{\frac {e^{\pi }}{\pi ^{e}}};=2,0008937301306}$