Genel topoloji

Matematikte, genel topoloji (veya nokta-küme topolojisi), topolojide kullanılan temel kümeler teorisi tanımları ve yapılarıyla ilgilenen topoloji dalıdır. Diferansiyel topoloji, geometrik topoloji ve cebirsel topoloji dahil diğer birçok topoloji dalının temelini oluşturur.

Topoloğun sinüs eğrisi, nokta küme topolojide kullanışlı bir örnek. Bağlıdır ancak yola bağlı değildir.

Nokta küme topolojisindeki temel kavramlar süreklilik, kompaktlık ve bağlantılılıktır:

• Sürekli işlevler, sezgisel olarak yakındaki noktaları yakındaki noktalara götürür.
• Kompakt kümeler, keyfi olarak küçük boyutlu sonlu sayıda küme tarafından kapsanabilen kümelerdir.
• Bağlantılı kümeler birbirinden uzak iki parçaya bölünemeyen kümelerdir.

"Yakın", "keyfi olarak küçük" ve "uzak" terimlerinin tümü, açık kümeler kavramı kullanılarak kesinleştirilebilir. 'Açık küme' tanımını değiştirirsek, sürekli fonksiyonların, kompakt kümelerin ve bağlı kümelerin ne olduğunu değiştiririz. 'Açık küme' için her tanım seçimine topoloji denir. Topolojisi olan bir kümeye topolojik uzay denir.

Metrik uzaylar, kümedeki nokta çiftleri üzerinde metrik olarak da adlandırılan gerçek, negatif olmayan bir mesafenin tanımlanabildiği bir topolojik uzay sınıfıdır. Bir metriğe sahip olmak, birçok ispatı basitleştirir. En yaygın topolojik uzayların çoğu metrik uzaylardır.