Çizge teorisi

Graf teorisi, çizge teorisi veya çizit teorisi (İngilizce: graph theory), grafları inceleyen matematik dalıdır. Graf, düğümler ve bu düğümleri birbirine bağlayan kenarlardan oluşan bir tür ağ yapısıdır. Bir graf, çizge veya çizit, düğümlerden (köşeler) ve bu düğümleri birbirine bağlayan kenarlardan (yaylardan, bağıntılardan) oluşur.

Örnek bir çizge

Temeli 1736'da Leonhard Euler tarafından atılmıştır.^[1]

Graf teorisi üzerine yapılan çalışmalar, Petri ağları gibi birçok yeni kavramın geliştirilmesine imkân sağlamıştır.

Teorinin tarihi

Königsberg köprüleri sorunu

Leonhard Euler tarafından, 1736 yılında, Königsberg'in yedi köprüsü (Almanca: Die Sieben Brücken von Königsberg) adında günümüzde hâlâ popülerliğini koruyan bir problem ile ilgili olarak yazılan bir makale, graf teorisinin kesin başlangıç tarihidir.

Matematiksel tanımı

Solda matematiksel ifadesi bulunan örnek G grafı

Bir G grafı iki küme ile ifade edilir: G = (D, K). Bu ifadede D düğümler kümesi, K ise (düğümler ile ilişkili) kenarlar kümesi olarak ifade edilir.

• Eğer düğümleri birbirine bağlayan kenarlar için giriş ve çıkış yönleri belirli ise bu kenarlara yönlü kenarlar denir.
• Eğer bir düğümden çıkan ve yine aynı düğüme giren bir kenar varsa (mesela A'dan çıkıp A'ya yeniden giren bir kenar), bu bir döngü (İngilizce: loop) olarak ifade edilir.
• Eğer bir düğümden bir başka düğüme giden aynı yöne sahip veya yönsüz iki adet kenar varsa bu kenarlara paralel kenarlar denir.

Sağdaki yönsüz, örnek graf için küme gösterimi aşağıdaki şekilde yapılır.

D = {A, B, C, D}

K = {(A, D), (D, A), (A, B), (A, C), (C, B), (C, D)}

G = (D, K)

Bu örnekte A ve D düğümleri iki adet paralel kenar içerir.

Graf tipleri

Graf tipi	Kenar tipi	Çoklu kenara izin	Döngüye izin?
Basit graf	Yönsüz	Hayır	Hayır
Çoklu graf	Yönsüz	Evet	Hayır
Pseudo (sahte) graf	Yönsüz	Evet	Evet
Yönlü graf	Yönlü	Hayır	Evet
Yönlü çoklu graf	Yönlü	Evet	Evet

Tanımlar ve örnekler

Yol haritasıyla haritada belirtilen yollarla bir beldeden diğer bir beldeye nasıl gidileceğine karar verilir. Sonuç olarak bu durumda nesnelerin iki farklı kümesi ile ilgilenilmektedir: Beldeler ve yollar. Daha önce gördüğümüz gibi böyle nesnelerin kümeleri bir bağıntı tanımlamak için kullanılabilir. Eğer V kümesi ile beldeler kümesini ve E kümesi ile de yollar kümesini gösterirsek, V kümesi üzerinde yalnız E'deki yolları kullanarak a beldesinden (noktasından) b noktasına seyahat edilebiliyorsa aβb yazarak, bir β bağıntısı tanımlanabilir. Eğer E'deki yollar gidiş-geliş yolları ise bβa da gerçeklenir. Eğer inceleme altındaki bütün yollar gidiş-gelişli yollar ise bu bağıntı simetriktir. Bir bağıntıyı tanımlamanın bir yolu, onun elemanlarını sıralı çiftler olarak listeleyerek vermektir. Bunun, aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi çizgiler kullanarak yapılması daha uygundur.

Ayrıca bakınız

• Arama algoritması
• En kısa yol problemi
• Gezgin satıcı problemi