Landau-Kolmogorov eşitsizliği

Matematikte Landau-Kolmogorov eşitsizliği gerçel sayıların bir altkümesi üzerinde tanımlanan bir fonksiyonun farklı türevleri arasında ilişki kuran bir aradeğerleme eşitsizlikleri ailesidir.

Eşitsizliğin ifadesi

${\displaystyle T\subset \mathbb {R} }$ bir aralık olsun ve ${\displaystyle f}$ ise bu aralık üzerinde ${\displaystyle n}$ kere sürekli türevlenebilir bir fonksiyon olsun. Eğer, hem ${\displaystyle f}$ hem de ${\displaystyle f^{(n)}}$ sınırlıysa, o zaman her ${\displaystyle 1\leq k<n}$ için

${\displaystyle \|f^{(k)}\|_{L_{\infty }(T)}\leq C(n,k,T){\|f\|_{L_{\infty }(T)}}^{1-k/n}{\|f^{(n)}\|_{L_{\infty }(T)}}^{k/n}}$

eşitsizliğini sağlayan bir ${\displaystyle C(n,k,T)}$ sabiti vardır.^[1][2]

Eşitsizlik, k = 1, n = 2 ve T = [c,∞) veya T = R durumlarında ilk defa Edmund Landau^[3] tarafından C(2, 1, [c,∞)) = 2 ve C(2, 1, R) = √2 en iyi kestirim sabitleri ile kanıtlanmıştır. Jacques Hadamard ve Georgiy Şilov'un katkılarından sonra, Andrey Kolmogorov keyfi n, k için en iyi kestirim sabitlerini buldu:^[4]

${\displaystyle C(n,k,\mathbb {R} )=a_{n-k}a_{n}^{-1+k/n}}$

Burada, a_n ile Favard sabitleri gösterilmiştir.

Genelleştirmeler

Şu şekilde genelleştirmeleri vardır:

${\displaystyle \|f^{(k)}\|_{L_{q}(T)}\leq K\cdot {\|f\|_{L_{p}(T)}^{\alpha }}\cdot {\|f^{(n)}\|_{L_{r}(T)}^{1-\alpha }}{\text{ for }}1\leq k<n.}$

Burada üç norm birbirinden farklı olabilir ve normlar L₁ den o L_∞a kadar değişebilir; en bilinen durum ise p=q=r=∞ durumudur. ${\displaystyle T}$ gerçel eksen, yarı eksen veya kapalı bir aralık olabilir.

Kallman-Rota eşitsizliği, Landau-Kolmogorov eşitsizliklerini türev operatöründen Banach uzaylarındaki daha genel büzüşmelere genelleştirir.^[5]