Süreklilik hipotezi

Süreklilik hipotezi (İngilizce: Continuum Hypothesis, kısaca CH), matematiksel mantık ve aksiyomatik kümeler kuramının en temel ve en meşhur problemlerinden biridir. En temel ifadesiyle, "kardinalitesi (yani büyüklüğü) tam sayılar kümesi ile reel sayılar kümesinin kardinaliteleri arasında olan bir küme yoktur" önermesidir.^[1]

Daha formel bir dille hipotez, doğal sayıların kardinalitesi olan ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ile reel sayıların oluşturduğu kontinuumun kardinalitesi olan ${\displaystyle c}$ (veya ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$) arasında başka bir sonsuz kardinal sayı bulunmadığını öne sürer. Bu durum, genellikle ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$ denklemi ile ifade edilir; burada ${\displaystyle \aleph _{1}}$, ${\displaystyle \aleph _{0}}$'dan sonra gelen ilk ve en küçük sonsuz kardinal sayıdır.^[2]

Hipotez, ilk olarak 1876 yılında kümeler kuramının kurucusu Georg Cantor tarafından ortaya atılmıştır. Cantor, hipotezin doğru olduğuna inanmış ve hayatının önemli bir bölümünü onu kanıtlamaya adamış ancak başarılı olamamıştır.^[1] Problemin temel önemi 1900 yılında Alman matematikçi David Hilbert'in 20. yüzyıl matematiğine yön vereceğini düşündüğü 23 problemden oluşan meşhur listesinin ilk sırasına bu hipotezi koymasıyla perçinlemiştir. Bu durum, süreklilik hipotezinin, matematiğin temellerinin sağlamlığı ve tutarlılığı arayışında ne denli merkezî bir sorun olarak görüldüğünü ortaya koymuştur.

Problemin çözümüne yönelik en önemli adımlar 20. yüzyılın ortalarında atılmıştır. 1940 yılında Kurt Gödel süreklilik hipotezinin, modern matematiğin standart aksiyom sistemi olan Zermelo-Fraenkel küme teorisi (kısaca ZFC) kullanılarak çürütülemeyeceğini kanıtlamıştır. 1963 yılında ise Paul Cohen, Gödel'in çalışmasını tamamlayarak, hipotezin ZFC aksiyomları kullanılarak kanıtlanamayacağını göstermiştir.^[3]

Bu iki sonucun birleşimi, süreklilik hipotezinin ZFC aksiyom sisteminden bağımsız olduğunu ortaya koymuştur. Bu, ZFC'nin tutarlı olduğu varsayımı altında, hem süreklilik hipotezinin kendisinin hem de karşıtının ZFC'ye bir aksiyom olarak eklenebileceği ve her iki durumda da tutarlı bir matematiksel sistem elde edileceği anlamına gelir. Bu devrim niteliğindeki sonuç "matematiksel doğruluk" kavramının mutlak olup olmadığı, aksiyomatik sistemlerin sınırları ve matematik felsefesi üzerine günümüze dek süren derin tartışmaları tetiklemiştir.

Tarihi

Süreklilik hipotezinin kökenleri 19. yüzyılın sonlarında Georg Cantor'un sonsuzluk kavramına getirdiği yaklaşıma dayanır. Cantor'un çalışmaları sonsuzluğun tek bir monolitik kavram olmadığını, aksine farklı "büyüklüklerde" sonsuzların var olduğunu göstererek modern matematiğin temellerini sarsmıştır.

Sonsuz Kümeler Kuramı

Cantor'un 1874 tarihli makalesi matematik tarihinde bir dönüm noktası olarak kabul edilir. Bu çalışmasında Cantor, tüm sonsuzların eşit olmadığını kanıtlamıştır. Özellikle cebirsel sayıların (yani katsayıları tam sayı olan polinomların kökleri olan sayılar) kümesinin, doğal sayılar kümesiyle birebir eşlenebildiğini, yani "sayılabilir" olduğunu göstermiştir. Ancak aynı çalışmada, reel sayılar kümesinin (kontinuum) bu şekilde sayılamayacağını, yani "sayılamaz" olduğunu kanıtlamıştır. Bu keşif kümeler kuramını ve "transfinit" (sonsuzötesi) sayılar teorisini başlatan temel adım olmuştur.^[2]

Bu farklı sonsuzlukları sınıflandırmak için Cantor, kardinalite kavramını geliştirmiştir. İki kümenin, elemanları arasında birebir eşleme kurulabiliyorsa, bu iki kümenin aynı kardinaliteye, yani aynı "büyüklüğe" sahip olduğu kabul edilir. Cantor, doğal sayılar kümesinin kardinalitesini İbrani alfabesinin ilk harfi olan alef ile göstererek ${\displaystyle \aleph _{0}}$ olarak adlandırmıştır. Reel sayıların kardinalitesini ise ${\displaystyle c}$ ile göstermiştir.

Cantor, reel sayıların sayılamaz olduğunu kanıtlamak için köşegen kanıtı (diagonal argument) yöntemini kullanmıştır. Bu zarif kanıt, ${\displaystyle c}$'nin ${\displaystyle \aleph _{0}}$'dan kesinlikle daha büyük olduğunu (${\displaystyle c>\aleph _{0}}$) göstermiştir. Ancak bu kanıt, bu iki sonsuzluk arasında başka bir sonsuz büyüklüğün olup olmadığına dair bir bilgi vermemiştir.

Hipotezin Formülasyonu

Cantor, bu iki farklı sonsuzluk olan ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ile ${\displaystyle c}$ arasında başka bir sonsuz kardinalitenin var olup olmadığını doğal olarak sorgulamıştır. Bu soru süreklilik hipotezi olarak bilinir hâle gelmiştir. Cantor hipotezin doğru olduğuna, yani böyle bir ara sonsuzluğun var olmadığına kuvvetle inanıyordu ve hayatının geri kalanında bu problemi çözmek için yoğun bir çaba sarf etti. Ancak tüm uğraşlarına rağmen hipotezi ne kanıtlayabildi ne de çürütebildi. Bu başarısızlık Cantor'un hem zihinsel sağlığı üzerinde yıkıcı bir etki yarattı hem de teorisinin temel bir parçasının eksik olduğu yönündeki eleştirileri alevlendirdi.^[2]

Cantor'un sonsuzlukla ilgili fikirleri dönemin matematik camiasında büyük bir dirençle karşılaştı. Leopold Kronecker gibi etkili matematikçiler Cantor'u alenen bir "şarlatan" olarak nitelendirirken, Henri Poincaré Cantor'un teorisini "matematiği istila eden korkunç bir hastalık" olarak tanımlamıştır.^[2]

Hilbert'in Birinci Problemi

20. yüzyılın başında, süreklilik hipotezinin statüsü kökten değişti. 1900 yılında Paris'te düzenlenen İkinci Uluslararası Matematikçiler Kongresi'nde dönemin en önde gelen matematikçilerinden David Hilbert, yeni yüzyılda matematiğin ilerlemesine yön vereceğine inandığı 23 problemden oluşan bir liste sundu. Bu listenin en başında süreklilik hipotezi yer alıyordu.^[4]

Hilbert'in CH'yi listenin en başına koyması tesadüfî değildi. Bu seçim Hilbert'in daha geniş kapsamlı felsefî projesi olan Hilbert Programı ile yakından ilişkiliydi. Hilbert tüm matematiği çelişkisiz, tam ve karar verilebilir aksiyomatik bir temel üzerine inşa etmeyi planlıyordu. Bu programa göre her anlamlı ve iyi formüle edilmiş matematiksel problemin kesin bir çözümü olmalıydı. Süreklilik hipotezi, matematiğin en temel iki nesnesi olan doğal sayılar ve reel sayılar arasındaki ilişkiyi sorguladığı için, bu programın gücünü ve geçerliliğini test etmek için mükemmel bir adaydı.^[5]

Bu hamle, süreklilik hipotezini Cantor'un kişisel bir takıntısı veya tartışmalı bir teorinin bir parçası olmaktan çıkarıp, tüm matematik dünyasının en prestijli ve acil problemlerinden biri haline getirdi. Böylece hipotez, tek bir matematikçinin kişisel ve trajik mücadelesi olarak başlayan yolculuğunu, 20. yüzyıl matematiğinin temel taşı arayışının merkezinde yer alan kurucu bir prensip olarak sürdürdü.

Matematiksel İfadesi

Süreklilik hipotezini tam olarak anlamak için, Cantor'un geliştirdiği kardinalite, transfinit sayılar ve kuvvet kümesi gibi temel kavramları incelemek gerekir.

Kardinalite ve Transfinit Sayılar

Kardinalite, bir kümenin "eleman sayısı" veya "büyüklüğü"nü ifade eden bir ölçüdür. Sonlu kümeler için bu kavram, elemanları saymakla aynı anlama gelir. Ancak sonsuz kümeler için Cantor, birebir eşleme kavramını temel almıştır: Eğer iki kümenin elemanları arasında, her elemanı yalnızca bir kez eşleyen bir fonksiyon kurulabiliyorsa, bu iki küme aynı kardinaliteye sahiptir denir. Bu tanıma göre, bazı sonsuz kümeler diğerlerinden "daha büyük" olabilir.

Doğal sayılar kümesi ${\displaystyle \mathbb {N} ={0,1,2,...}}$ ile birebir eşlenebilen kümelere sayılabilir sonsuz (countably infinite) denir. Tam sayılar kümesi (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) ve rasyonel sayılar kümesi (${\displaystyle \mathbb {Q} }$) de sayılabilir sonsuzdur. Sayılabilir olmayan sonsuz kümelere sayılamaz (uncountable) denir. Reel sayılar kümesi (${\displaystyle \mathbb {R} }$) bunun en bilinen örneğidir.

Cantor, sonsuz kardinaliteleri belirlemek için İbrani alfabesinin ilk harfi olan Alef (${\displaystyle \aleph }$) sembolünü kullanmıştır.

${\displaystyle \aleph _{0}}$, sayılabilir sonsuz kümelerin kardinalitesidir. ${\displaystyle |\mathbb {N} |=|\mathbb {Z} |=|\mathbb {Q} |=\aleph _{0}}$

Sonsuz kardinaller iyi-sıralı bir dizi oluşturur: ${\displaystyle \aleph _{0}}$, ${\displaystyle \aleph _{1}}$, ${\displaystyle \aleph _{2}}$ ... Bu dizide ${\displaystyle \aleph _{1}}$, ${\displaystyle \aleph _{0}}$'dan sonra olan en küçük kardinal sayıdır.

Kontinuumun Kardinalitesi ve Kuvvet Kümesi

Kontinuum, reel sayılar kümesini (${\displaystyle \mathbb {R} }$) ifade eder ve kardinalitesi genellikle ${\displaystyle c}$ ile gösterilir. Cantor, bu kardinaliteyi daha temel bir kavram olan kuvvet kümesi ile ilişkilendirmiştir.

Bir ${\displaystyle A}$ kümesinin kuvvet kümesi, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}$ veya ${\displaystyle 2^{A}}$ ile gösterilir ve ${\displaystyle A}$'nın tüm alt kümelerinden oluşan kümedir. Örneğin, ${\displaystyle A=\{a,b\}}$ ise, ${\displaystyle {\mathcal {P}}(A)=\{\emptyset ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}}$'dir.

Cantor Teoremi, herhangi bir ${\displaystyle A}$ kümesi için, kuvvet kümesinin her zaman ${\displaystyle A}$'nın kendi kardinalitesinden kesinlikle daha büyük olduğunu söyler: ${\displaystyle |A|<|{\mathcal {P}}(A)|}$. Bu teorem, sonsuz sayıda farklı sonsuzluğun varlığını garantiler çünkü bir kümenin kuvvet kümesini alıp ardından onun da kuvvet kümesini alarak sonsuza dek daha büyük kardinaliteler elde edilebilir.

Cantor, gerçel sayılarn kardinalitesinin (${\displaystyle c}$) doğal sayıların kuvvet kümesinin kardinalitesine eşit olduğunu kanıtlamıştır: ${\displaystyle c=|{\mathcal {P}}(\mathbb {N} )|=2^{\aleph _{0}}}$.

Hipotezin Formal İfadesi

Yukarıdaki tanımlar ışığında, Süreklilik Hipotezi (CH) birkaç farklı, fakat mantıksal olarak birbirine denk şekilde ifade edilebilir. Hipotezin en yaygın ve öz ifadesi şudur: ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}}$. Bu denklem, kontinuumun kardinalitesinin, sayılabilir sonsuzluktan sonra gelen ilk kardinal sayı olduğunu iddia eder.

Ayrıca bu hipotezi ${\displaystyle \nexists S\colon \aleph _{0}<|S|<2^{\aleph _{0}}}$ şeklinde ifade etmek de mümkündür.

ZFC'den Bağımsızlık

Süreklilik hipotezinin 20. yüzyıldaki serüveni, onun ZFC aksiyom sisteminden bağımsız olduğunun kanıtlanmasıyla sonuçlanmıştır. Bu, hipotezin ZFC kullanılarak ne kanıtlanabileceği ne de çürütülebileceği anlamına gelir. Bu sonuç, iki aşamalı bir süreçte, iki farklı matematikçi tarafından, iki devrimci teknik kullanılarak elde edilmiştir.

CH Çürütülemez

İlk büyük adım, 1940 yılında Avusturyalı mantıkçı Kurt Gödel tarafından atıldı. Gödel'in amacı, Süreklilik Hipotezi'nin ZFC aksiyomlarıyla tutarlı olduğunu göstermekti. Bu, ZFC'nin tutarlı olduğu varsayımı altında, ZFC'ye CH'nin bir aksiyom olarak eklenmesinin bir çelişkiye yol açmayacağını kanıtlamak anlamına geliyordu. Eğer bu gösterilebilirse, CH'nin ZFC içinde çürütülmesi imkansız olurdu, çünkü eğer bir çürütme (yani ${\displaystyle \neg CH}$ kanıtı) var olsaydı, ZFC + CH sistemi hem CH'yi hem de ${\displaystyle \neg CH}$'yi içererek çelişkili hale gelirdi.^[6]

İnşa Edilebilir Evren (L)

Gödel, bu tutarlılık kanıtını yapmak için iç model (İngilizce: inner model) tekniğini icat etti. Fikir, ZFC'nin tüm aksiyomlarını sağlayan, ancak standart kümeler evreni olan ${\displaystyle V}$'nin (von Neumann evreni) içinde yer alan daha "dar" ve "minimalist" bir kümeler evreni inşa etmekti. Gödel'in inşa ettiği bu modele inşa edilebilir evren (İngilizce: constructible universe) adı verilir ve ${\displaystyle L}$ harfiyle gösterilir.

${\displaystyle L}$'nin inşası, ordinal sayılar boyunca tranfisit yineleme (İngilizce: transfinite recursion) adı verilen bir süreçle adım adım gerçekleştirilir:

1. ${\displaystyle L_{0}=\emptyset }$
2. Her ${\displaystyle \alpha }$ ordinali için, ${\displaystyle L_{\alpha +1}}$ seviyesi, bir önceki seviye olan ${\displaystyle L_{\alpha }}$'da tanımlanabilen tüm alt kümelerden oluşur: ${\displaystyle L_{\alpha +1}={\text{Def}}(L_{\alpha })}$. Burada bir alt kümenin "tanımlanabilir" olması, onun parametreleri ${\displaystyle L_{\alpha }}$'dan alınan ve küme kuramının formel diliyle yazılmış bir formül aracılığıyla ifade edilebilmesi anlamına gelmektedir.
3. Eğer ${\displaystyle \lambda }$ bir limit ordinal ise (yani ardılı olmayan bir ordinal, örneğin ${\displaystyle \omega }$) ${\displaystyle L_{\lambda }}$ seviyesi, kendisinden önceki tüm seviyelerin birleşimi olarak tanımlanır: ${\displaystyle L_{\lambda }=\bigcup _{\alpha <\lambda }L_{\alpha }}$

Bu inşa süreci, evrene yalnızca kesin olarak var olması gereken, yani bir formülle "inşa edilebilen" kümelerin dahil edilmesini sağlar. Bu nedenle ${\displaystyle L}$, standart evren ${\displaystyle V}$'den potansiyel olarak çok daha küçük ve zayıf bir yapıdır; içinde garip veya patolojik olarak görülebilecek kümelere yer yoktur.

İnşa Edilebilirlik Aksiyomu

Gödel, bu iç modelin özelliklerini inceleyerek kanıtını tamamladı. "Evrendeki her küme inşa edilebilirdir" önermesi, yani ${\displaystyle V=L}$, ZFC'ye eklenebilecek yeni bir aksiyom adayıdır.

Gödel, inşa ettiği ${\displaystyle L}$ modelinin ZFC'nin tüm aksiyomlarını sağladığını gösterdi. Daha da önemlisi, ${\displaystyle L}$ modelinin içine Genişletilmiş Süreklilik Hipotezi'nin (GCH) ve dolayısıyla özel bir durum olan CH'nin de doğru olduğunu kanıtladı. ${\displaystyle L}$'nin minimalist yapısı yeni kümelerin oluşumunu o kadar kısıtlar ki, ${\displaystyle \aleph _{0}}$ ile ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ arasında bir kardinaliteye sahip bir kümenin inşa edilmesine olanak tanımaz.

ZFC'nin tutarlı olduğu varsayımı altında, ${\displaystyle L}$ modeli ZFC + V=L'nin (ve dolayısıyla ZFC + CH'nin) bir modelidir. Bir teorinin bir modeli varsa, o teori tutarlıdır. Dolayısıyla, ZFC + CH sistemi tutarlıdır ve bu da CH'nin ZFC aksiyomları kullanılarak çürütülemeyeceği anlamına gelir.

CH Kanıtlanamaz

Gödel'in sonucu, hikâyenin sadece yarısıydı. CH'nin ZFC'den tam bağımsızlığını kanıtlamak için, onun ZFC'de kanıtlanamayacağının da gösterilmesi gerekiyordu. Bu, ZFC'nin tutarlı olduğu varsayımı altında, ZFC + ${\displaystyle \neg CH}$ sisteminin de tutarlı olduğunu göstermekle eşdeğerdi. Bu devasa adımı, 1963 yılında Amerikalı matematikçi Paul Cohen, zorlama (forcing) adını verdiği tamamen yeni bir teknik geliştirerek başardı. Bu çalışması ona 1966'da Fields Madalyası'nı kazandırdı.^[7]

Zorlama (Forcing)

Cohen'in zorlama tekniği, Gödel'in iç model tekniğinin felsefi olarak tam tersidir. Gödel evreni "küçülterek" bir model inşa ederken, Cohen evreni "genişleterek" yeni bir model inşa eder.

Zorlama, var olan bir ZFC modelini (buna ground model denir ve genellikle ${\displaystyle M}$ ile gösterilir) alıp, ona dikkatlice seçilmiş yeni kümeler ekleyerek daha büyük bir model (${\displaystyle M[G]}$) oluşturma yöntemidir.

Zorlama koşulları, eklenecek yeni küme veya kümeler hakkındaki "kısmî bilgilerdir". Örneğin, yeni bir reel sayı eklemek istiyorsak, bir zorlama koşulu bu sayının ondalık açılımının ilk birkaç basamağını belirten sonlu bir bilgi parçası olabilir.

Jenerik küme/filtre, zorlama koşullarının tutarlı ve tam bir koleksiyonudur. Zemin model ${\displaystyle M}$'de olmayan ancak onun dışından jenerik olarak seçilen bir kümedir.

Jenerik genişletme, yeni model ${\displaystyle M[G]}$, zemin model ${\displaystyle M}$'e küme ${\displaystyle G}$'nin eklenmesiyle elde edilir. Cohen, bu yeni ve daha "zengin" modelin de ZFC aksiyomlarını sağladığını kanıtlamıştır.

¬CH Modelinin İnşası

Cohen, zorlama tekniğini kullanarak Süreklilik Hipotezi'nin yanlış olduğu bir model inşa etti.

1. İşe, CH'nin doğru olduğu sayılabilir geçişli bir zemin modelle (${\displaystyle M}$) başladı. Gödel'in ${\displaystyle L}$ modeli bu iş için uygun bir başlangıç noktasıdır.
2. Zorlama tekniğini kullanarak bu modele, kardinalleri çökertmeden (yani ${\displaystyle M}$'deki ${\displaystyle \aleph _{1}}$'i yeni modelde sayılabilir yapmadan) ${\displaystyle \aleph _{2}}$ tane yeni reel sayı ekledi.
3. Oluşturulan yeni jenerik genişletme ${\displaystyle M[G]}$ modelinde, gerçel sayıların kardinalitesi (yani ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$ değeri) en az ${\displaystyle \aleph _{2}}$'ye eşit olur. Bu durumda ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}\neq \aleph _{1}}$ olduğu için Süreklilik Hipotezi bu modelde yanlıştır.
4. ZFC'nin tutarlı olduğu varsayılırsa, ZFC + ${\displaystyle \neg CH}$ sistemi de tutarlıdır. Bu nedenle, CH, ZFC aksiyomları kullanılarak kanıtlanamaz.

Gödel ve Cohen'in bu iki sonucu bir araya geldiğinde, Süreklilik Hipotezi'nin ZFC'den tamamen bağımsız olduğu kesinleşmiş oldu. Bu durum, ZFC aksiyomlarının kümeler evreninin "zenginliği" veya "yoğunluğu" hakkında ne kadar az şey söylediğini çarpıcı bir şekilde ortaya koyar.