Yüzey

Yüzey, matematikte ve özellikle topolojide iki boyutlu çokkatlı. İki gerçel değişkenli ve gerçel değerli bir fonksiyonun üç boyutlu uzayda (R³) grafiği tipik yüzey örneğidir. Ayrıca Dünya yüzeyi, bir yumurtanın kabuğu, bir simit birer yüzeydir.

Bir yüzeyin iki boyutlu bir çokkatlı olması, öncelikle onun (belirli özellikleri sağlayan) bir topolojik uzay olması demektir. Bunun yanında yüzeyin verilen (herhangi) bir x noktası çevresinde öyle bir komşuluk bulunabilir ki, bu komşuluk 2 boyutlu uzayın bir parçasına benzer. Bu komşuluğa yama denir. Bu benzeme uyarınca, x çevresinde sağ-sol ve yukarı-aşağı kavramları iyi bir biçimde tanımlanabilir. Daha iyi bir deyişle, x'in çevresine bir koordinat sistemi döşenebilir. Böylece yüzey, bir düzlem parçası olmasa bile x çevresindeki noktalar bir düzlemdeymiş gibi koordinatlara sahip olur.

Dünya yüzeyi matematiksel olarak bir yüzeydir. Dünya'nın çizilen her haritası, yukarıdaki anlamda bir koordinat sistemi tarif eder. Bu sayede denizcilikte yön bulma kolaylaşır ve iki denizci aynı koordinat sisteminde konuşarak birbirleriyle anlaşabilir. Dünya yüzeyi için standart koordinat sistemi, enlem ve boylamlarla verilir. Örneğin, Dünya yüzeyinden gün dönümü çizgisi ve kutuplar silindiğinde kalan parçaya (${\displaystyle 180^{\circ }}$ Doğu, ${\displaystyle 180^{\circ }}$ Batı) ilâ (${\displaystyle 90^{\circ }}$ Kuzey, ${\displaystyle 90^{\circ }}$ Güney) koordinatları verilerek bu parça bir yamaya dönüştürülebilir. Gün dönümü çizgisi ya da kutupların silinmediği durumda bazı enlem-boylam çiftlerinin aynı noktayı tarif edeceklerine dikkat ediniz.

Topolojik bir yüzey, her zaman R³'te görülemeyebilir. Örneğin gerçel izdüşümsel düzlem ya da Klein şişesi R³'te yatmazlar ancak R⁴'e gömülebilirler. Topolojinin temel teoremlerinden biri, bir yüzeyi gömebilmek için en fazla dört boyuta (R⁴) gerek olduğunu söyler.

Matematiksel tanım

İki boyutlu bir çokkatlıya yüzey denir. Daha ayrıntılı bir söyleyişle, (kenarı olmayan topolojik) yüzey, aşağıdaki koşulları sağlayan bir topolojik uzaydır:

• Hausdorff'tur;
• Herhangi bir noktasının çevresinde öyle bir açık komşuluk bulunabilir ki bu komşuluk R²'nin açık bir alt kümesine homeomorfiktir;
• (Kimi tanımlarda) İkinci sayılabilirlik özelliğini sağlar;
• (Kimi tanımlarda) Parakompakttır.

Yukarıki tanımda ikinci koşulda R² yerine, üst yarı düzlemi (yani ikinci koordinatları negatif olmayan noktaların kümesi) temsil etmek üzere H² konduğunda, bu tanım, kenarı olan (kenarlı) topolojik bir yüzey tanımına dönüşür. Bu durumda ikinci koşulda homeomorfizma sözcüğünün anlamlı olabilmesi için H² üzerinde bir topoloji bulunması gerekir. Bu topoloji standart olarak R²'den tetiklenen topolojidir.

Kenarı olan bir yüzeyin kenarı olmayandan farklı olarak şu tür noktaları da vardır: noktanın yeterince küçük her komşuluğu H²'de çapı yarı düzlemin en altında oturan bir yarım daireye homeomorfiktir. Noktanın R²'de açık bir bölgeye homeomorfik bir komşuluğu olması söz konusu değildir. Kenarlı yüzeylere birkaç örnek: düzlemde kapalı bir daire, kapalı bir eğriyle çevrelenmiş bir düzlem bölgesi, bir yarıküre (içi boş), açık bir dairesel parçası koparılmış bir simit (yüzeyi).

Bir yüzeyin içinde bir Möbius şeridi varsa (yüzeye gömülebiliyorsa) bu yüzeye yön verilemez denir. İçinde bir Möbius şeridi yoksa böyle bir yüzeye yön verilebilir denir. Yön verilemez yüzeylere birkaç örnek: Möbius şeridi, gerçel izdüşümsel düzlem, Klein şişesi. Bunlardan Möbius şeridi kenarı (bir çember) olan bir yüzeyken diğerleri kenarsız yüzeylerdir.