Ротор (математика)

Ротор яки өермә — вектор кыры өстеннән вектор дифференциаль операторы.

Әйләнә торган дискның тизлекләр кыры,
${\displaystyle \left(\omega <0\right)}$, ${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {\omega } \times \mathbf {r} }$, ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} =2\omega }$

Циркуляция һәм ротор: ${\displaystyle (\nabla \times \mathbf {F} )\cdot \mathbf {\hat {n}} \ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\lim _{A\to 0}\left({\frac {1}{|A|}}\oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} \right)}$

Төрле ысуллар белән билгеләнә:

• ${\displaystyle \operatorname {rot} }$ - рус, алман әдәбиятында һәм бөтен Аурупада диярлек
• ${\displaystyle \operatorname {curl} }$ - инглиз телле әдәбиятта (Джеймс Максвелл тарафыннан тәкъдим ителгән)
• ${\displaystyle \mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} .}$ - набла операторы һәм вектор кыры вектор тапкырчыгышы.

F вектор кырыннан роторы да вектор кыры булып тора.

rot F кыры - F кырының әйләнү компонентын тасвирлый.

Математик билгеләмә

Математикада а вектор кырыннан ротор - вектор кырының циркуляциясе ΔS яссы мәйданчыгына чагыштырмасының чигенә тигез:

${\displaystyle \operatorname {rot} _{\mathbf {n} }\mathbf {a} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\oint \limits _{L}\mathbf {a\cdot \,dr} }{\Delta S}}}$.

L контуры сәгать теле буенча узып алына.

Өч үлчәмле декарт системасында ротор компонентлары болай билгеләнә:

${\displaystyle \operatorname {rot} \;(F_{x}\mathbf {e} _{x}+F_{y}\,\mathbf {e} _{y}+F_{z}\mathbf {e} _{z})=}$

${\displaystyle =\left(\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\right)\mathbf {e} _{x}+\left(\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\right)\mathbf {e} _{y}+\left(\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\right)\mathbf {e} _{z}\equiv }$

${\displaystyle \equiv \left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {e} _{x}+\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {e} _{y}+\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {e} _{z}.}$

яки

${\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{x}=\partial _{y}F_{z}-\partial _{z}F_{y}\equiv {\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}}$

${\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{y}=\partial _{z}F_{x}-\partial _{x}F_{z}\equiv {\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}}$

${\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{z}=\partial _{x}F_{y}-\partial _{y}F_{x}\equiv {\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}}$

Уңайлылык өчен ротор - набла операторы һәм вектор кыры вектор тапкырчыгышы булып күрсәтелә:

${\displaystyle \operatorname {rot} \;\mathbf {F} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {F} ={\begin{pmatrix}{\frac {\partial }{\partial x}}\\\\{\frac {\partial }{\partial y}}\\\\{\frac {\partial }{\partial z}}\end{pmatrix}}\times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} _{x}&\mathbf {e} _{y}&\mathbf {e} _{z}\\\\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}.}$

(Соңгы тигезләмә - вектор тапкырчыгышы билгеләгеч буларак күрсәтелгән).

Потенциаль кыр

Вектор кырыннан ротор нульгә тигез булганда әлеге кыр өермәсез һәм потенциаль кыр булып тора.

Гомуми тасвир

Гомуми очракта күп үлчәмле вектор кыры өчен ротор болай билгеләнә:

${\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{12}=\left({\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{2}}}\right)}$

${\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{13}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial F_{1}}{\partial x_{3}}}\right)}$

${\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{23}=\left({\frac {\partial F_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial F_{2}}{\partial x_{3}}}\right)}$

...

яки

${\displaystyle (\operatorname {rot} \;\mathbf {F} )_{mn}=\partial _{m}F_{n}-\partial _{n}F_{m}\equiv {\frac {\partial F_{n}}{\partial x_{m}}}-{\frac {\partial F_{m}}{\partial x_{n}}}}$

m һәм n 1 ... - фәза үлчәменә кадәр.

Төп үзлекләре

• Сызыклылык:

${\displaystyle \operatorname {rot} \;(a\mathbf {F} +b\mathbf {G} )=a\;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} +b\;\operatorname {rot} ~\mathbf {G} }$

F , G - вектор кырлары, a , b - даими саннар.

• ${\displaystyle \varphi }$ — скаляр кыр, ә F — вектор кыры өчен:

${\displaystyle \operatorname {rot} ~\varphi \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi ~\times \mathbf {F} +\varphi \;\operatorname {rot} ~\mathbf {F} ,}$

яки

${\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=(\nabla \varphi )\times \mathbf {F} +\varphi \;(\nabla \times \mathbf {F} ).}$

• Ротордан дивергенция нульга тигез:

${\displaystyle \operatorname {div} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0}$ яки ${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \times \mathbf {F} )=0.}$

киресенчә

${\displaystyle \operatorname {div} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {rot} ~\mathbf {G} .}$

• Әгәр F потенциаль кыр булса, аннан ротор нульга тигез:

${\displaystyle \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi \Rightarrow \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0}$

һәм киресенчә

${\displaystyle \operatorname {rot} ~\mathbf {F} =0\Rightarrow \mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\varphi }$

• Ике вектор кырыннан бертигез ротор була ала, ләкин алар ниндидер скаляр кырдан градиентта аерылып була.
• ${\displaystyle \operatorname {rot} ~\operatorname {rot} ~\mathbf {F} =\operatorname {grad} ~\operatorname {div} ~\mathbf {F} -\Delta \mathbf {F} }$
• Стокс теоремасы:

${\displaystyle \oint \limits _{\partial S}\mathbf {F} \cdot \,\mathbf {dl} =\int \limits _{S}(\operatorname {rot} ~\mathbf {F} )\cdot \,\mathbf {dS} }$

Әдәбият

• Александрова Н. В. Формирование основных понятий векторного исчисления. // Историко-математические исследования. — М.: Наука, 1982. — № 26. — С. 205-234.
• Борисенко А. И., Тарапов И. Е. Векторный анализ и начала тензорного исчисления. М.: Высшая школа, 1966, 251 с.
• Краснов М. Л., Кисилев А. И., Макаренко Г. И. Векторный анализ. Наука, 1978, 160 с. (2-ое изд. УРСС, 2002)
• Кумпяк Д. Е. Векторный и тензорный анализ. Учебное пособие. Тверь: Тверской гос. университет, 2007, 158 с.
• Мак-Коннел А. Дж. Введение в тензорный анализ с приложениями к геометрии, механике и физике. М.: Физматлит, 1963, 411 с.
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, том III. — М.: Наука, 1966.