Тейлор рәте

Тейлор рәте - функцияне дәрәҗәле функцияләрнең чиксез суммасына таркату.

Тейлор үз эшен бастырганга кадәр шул рәтне 17 гасырда Ньютон һәм Герегори кулланганнар.

${\displaystyle {a}}$ ноктасында чиксез рәвештә дифференциалана торган ${\displaystyle f(x)}$ функциясенең Тейлор рәте болай бирелә:

${\displaystyle f(x)}$ = ${\displaystyle f(a)+{f'(a) \over 1!}(x-a)+{f''(a) \over 2!}(x-a)^{2}+...+{f^{(n)}(a) \over n!}(x-a)^{n}+...}$ = ${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}}$

биредә ${\displaystyle a}$ - параметр

Экспоненциаль фунция e^x - зәңгәр төстә, Тейлор рәтенең 0...n+1 әгъзалары (кызыл төстә) экспонентага омтыла

${\displaystyle a=0}$ булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә

Әгәр ${\displaystyle x=a}$ ноктасында ${\displaystyle f(x)}$ функциясе чиксез туры килүче дәрәҗәле функциональ рәт ${\displaystyle a}$: ${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{{b_{k}}{{(x-a)}^{k}}}}$ төрендә язылып булса, әлеге функция - аналитик функция дип атала.

Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсе

Әгәр билгеләнгән өлкәдә аналитик функция үз Тейлор рәтенә тигез булса, ул өлкә - Тейлор рәтенең җыелучанлык өлкәсе дип атала.

Мәсәлән: ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{1-x}}}$ функциясе Тейлор рәтенә таркатылып була: ${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{x^{k}}}$ (билгеле геометрик прогрессия)

Ләкин бу функция ${\displaystyle x=1}$ ноктада билгеләнмәгән, шуңа күрә Тейлор рәте тик ${\displaystyle |x|<1}$ өлкәсендә җыела.

Тейлор рәтенең җыелучанлык радиусы Даламбер формуласында билгеләнә:

${\displaystyle R=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {b_{k}}{b_{k+1}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{\frac {\frac {{f^{(k)}}(a)}{k!}}{\frac {{f^{(k+1)}}(a)}{(k+1)!}}}\right|=\lim _{k\to \infty }\left|{{\frac {{f^{(k)}}(a)}{{f^{(k+1)}}(a)}}(k+1)}\right|}$.

Тейлор тигезләмәсе

Әгәр ${\displaystyle f(x)}$ функциясе ${\displaystyle a}$ һәм ${\displaystyle x}$ арасындагы кисемтәдә ${\displaystyle n+1}$ чыгарылмага ия булса, шунда ${\displaystyle \xi }$ ноктасы янында функцияне болай таркатып була:

${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{n}{f^{(k)}(a) \over k!}(x-a)^{k}+\left({x-a \over x-\xi }\right)^{p}{(x-\xi )^{n+1} \over n!p}f^{(n+1)}(\xi ).}$

икенче әгъза - калдык әгъза дип атала

Калдык әгъза бирничә формада бирелеп була:

• Лагранж: ${\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1} \over (n+1)!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=n+1;\qquad 0<\theta <1}$
• Коши: ${\displaystyle R_{n}(x)={(x-a)^{n+1}(1-\theta )^{n} \over n!}f^{(n+1)}[a+\theta (x-a)]\qquad p=1;\qquad 0<\theta <1}$
• интеграль формада: ${\displaystyle R_{n}(x)={1 \over n!}\int \limits _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)\,dt}$

Кайбер функцияләрнең Маклорен рәтләре

Тейлор рәте ${\displaystyle a=0}$ булган очракта Маклорен рәте дип йөртелә:

• Экспонента: ${\displaystyle \displaystyle \mathrm {e} ^{x}=1+{\dfrac {x}{1!}}+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}},x\in \mathbb {C} }$
• Натураль логарифм: ${\displaystyle \displaystyle \ln(1+x)=x-{\dfrac {x^{2}}{2}}+{\dfrac {x^{3}}{3}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}x^{n+1}}{(n+1)}}=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n-1}x^{n}}{n}},}$ барлык ${\displaystyle -1<x\leq 1}$ өчен
• Ньютон биномы: ${\displaystyle \displaystyle (1+x)^{\alpha }=1+\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\binom {\alpha }{n}}x^{n},}$ для всех ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ һәм барлык комплекс ${\displaystyle \alpha ,}$ өчен , биредә ${\displaystyle \displaystyle {\binom {\alpha }{n}}=\prod \limits _{k=1}^{n}{\dfrac {\alpha -k+1}{k}}={\dfrac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}}$
  • Квадрат тамыр: ${\displaystyle \displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\dfrac {x}{2}}-{\dfrac {x^{2}}{8}}+{\dfrac {x^{3}}{16}}-\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }{\dfrac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n},}$ бар ${\displaystyle |x|<1}$ өчен
  • ${\displaystyle {\dfrac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots =\sum \limits _{n=0}^{\infty }x^{n},}$ барлык ${\displaystyle |x|<1}$ өчен
  • Чикле геометрик рәт: ${\displaystyle \displaystyle {\dfrac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \limits _{n=0}^{m}x^{n},}$ бар ${\displaystyle x\not =1,\ m\in \mathbb {N} _{0}}$ өчен
• Тригонометрик функцияләр:
  • Синус: ${\displaystyle \displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{(-1)^{n}}{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}},x\in \mathbb {C} }$
  • Косинус: ${\displaystyle \displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C} }$
  • Тангенс: ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {tg} \ x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1},}$ барлык ${\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}},}$ өчен, ${\displaystyle B_{2n}}$ — Бернулли саннары
  • Секанс: ${\displaystyle \displaystyle \sec x=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}}$ барлык ${\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}}$ өчен
  • Арксинус: ${\displaystyle \displaystyle \arcsin x=x+{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}+\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}$ барлык ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ өчен^[1]
  • Арккосинус: ${\displaystyle \displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}$ барлык ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ өчен
  • Арктангенс: ${\displaystyle \displaystyle \operatorname {arctg} \ x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots \ =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{2n-1}}x^{2n-1}}$ барлык ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ өчен
• Гиперболик функцияләр:
  • ${\displaystyle \operatorname {sh} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)!}}x^{2n+1},x\in \mathbb {C} }$
  • ${\displaystyle \operatorname {ch} \,\left(x\right)=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(2n)!}}x^{2n},x\in \mathbb {C} }$
  • ${\displaystyle \operatorname {th} \,\left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {B_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}}$ барлык ${\displaystyle \left|x\right|<{\dfrac {\pi }{2}}}$ өчен
  • ${\displaystyle \operatorname {arsh} \,\left(x\right)=x-{\frac {x^{3}}{6}}+{\frac {3x^{5}}{40}}-\cdots \ =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}}$ барлык ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ өчен
  • ${\displaystyle \operatorname {arth} \,\left(x\right)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}x^{2n+1}}$ барлык ${\displaystyle \left|x\right|<1}$ өчен