Фурье рәте

Фурье рәте — ${\displaystyle \tau }$ периодлы теләгән ${\displaystyle f}$ функциясен гармоник тирбәнешләрнең (гармоник дулкыннар) чиксез суммасы - рәте төрендә күрсәтү:

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum \limits _{k=1}^{+\infty }A_{k}\cos \left(2\pi {\frac {k}{\tau }}x+\theta _{k}\right)}$

Фурье рәтенең әгзаларын өстәп, сумма бирелгән функциягә җыелып якыная

Фурье рәтенең җыелучанлыгы

Әлеге рәт шулай ук болай язылып була:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{i2\pi {\frac {k}{\tau }}x},}$

биредә

${\displaystyle A_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-нче гармоник тирбәнешнең амплитудасы,

${\displaystyle 2\pi {\frac {k}{\tau }}=k\omega }$ — гармоник тирбәнешнең әйләнү ешлыгы,

${\displaystyle \theta _{k}}$ — ${\displaystyle k}$-нче тирбәнешнең башлангыч фазасы,

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}}$ — ${\displaystyle k}$-нче комплекс амплитуда

Фурье рәте оптикада, дулкыннар теориясендә, санак технологияләрендә, кырның квант теориясендә, медицинада, югары математикада һ.б. өлкәләрдә киң кулланыла.

Гомуми очракта теләгән функцияне ортогональ функцияләрнең Фурье рәтенә таркатып була.

Фурье тригонометрик рәте

${\displaystyle f\in L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ функциясенең Фурье тригонометрик рәте дип түбәндәге рәт атала:

${\displaystyle f(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{\infty }(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$

(1)

биредә

${\displaystyle a_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)dx,}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,}$

${\displaystyle b_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,}$

${\displaystyle a_{0}}$, ${\displaystyle a_{n}}$ һәм ${\displaystyle b_{n}}$ (${\displaystyle n=1,2,\ldots }$) саннары - ${\displaystyle f}$ функциясенең Фурье коэффициентлары дип атала

Рәт (1) ${\displaystyle L_{2}([-\pi ,\pi ])}$ фәзасында ${\displaystyle f}$ функциясенә җыела. Бүтән сүзләр белән: рәтнең өлешчә суммалары ${\displaystyle S_{k}(x)}$:

${\displaystyle S_{k}(x)={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{n=1}^{k}(a_{n}\cos nx+b_{n}\sin nx)}$,

${\displaystyle \lim \limits _{k\rightarrow \infty }\int \limits _{-\pi }^{\pi }(f(x)-S_{k}(x))^{2}dx=0}$. Ягъни җыелучанлык күрсәтелә.

Еш кына синус һәм косинус урынына уйланма аргументтан экспонентаны куллану кулайрак була:

• Эйлер формуласы буенча функцияләр системасы карала:

${\displaystyle \varphi _{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),k\in \mathbb {Z} }$.

Әлеге функцияләр - ортогональ һәм теләгән кайсы ${\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )}$ функциясен алар буенча Фурье рәтенә таркатып була:

${\displaystyle f(x)=\sum \limits _{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}_{k}e^{ikx}}$,

биредә:

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx}$.

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{k}-ib_{k})/2,k>0}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{0}=a_{0}/2}$

${\displaystyle {\hat {f}}_{k}=(a_{|k|}+ib_{|k|})/2,k<0}$

${\displaystyle a_{k}={\hat {f}}_{k}+{\hat {f}}_{-k},k>0}$

${\displaystyle b_{k}=i({\hat {f}}_{k}-{\hat {f}}_{-k}),k>0}$

• Комплекс функция шулай да Фурье рәтенә таркатыла.

Әдәбият

• Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — 188 с.
• Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
• Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
• Зигмунд А. Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.