Обмежена послідовність

Числова послідовність ${\displaystyle \{a_{n}:n\geq 1\}}$ називається обмеженою, якщо ${\displaystyle \exists C\in \mathbf {R^{+}} \quad \forall n\geq 1:|a_{n}|\leq C}$, тобто множина її значень є обмеженою.

• Послідовність {${\displaystyle x_{n}}$} називається обмеженою зверху (знизу), якщо існує таке дійсне число M (число m), що кожен елемент ${\displaystyle x_{n}}$ послідовності {${\displaystyle x_{n}}$} задовільняє нерівність ${\displaystyle x_{n}}$ ≤ M (${\displaystyle x_{n}}$ ≥ m).При цьому число M (число m) називають верхньою (нижньою) межею послідовності.

• Послідовність {${\displaystyle x_{n}}$} називається обмеженою з двох сторін або просто обмеженою, якщо вона обмежена зверху і знизу, тобто існують такі числа m і M, що m ≤ ${\displaystyle x_{n}}$ ≤ M., або |${\displaystyle x_{n}}$| ≤ A, де A = max{M, m}.

Якщо послідовність є збіжною, то вона буде обмеженою.^[1]

Властивості

Добуток обмеженої і нескінченно малої послідовностей дає нескінченно малу послідовність.^[2]

Монотонно зростаюча обмежена зверху (або монотонно спадаюча обмежена знизу) послідовність має скінченну границю.^[3]

Див. також

• Верхня та нижня межа
• Обмежена множина
• Обмежена функція

Зноски

1. Фіхтенгольц, 2023, с. 46.
2. Фіхтенгольц, 2023, с. 52.
3. Фіхтенгольц, 2023, с. 69.

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)