Інваріантність щодо масштабу

Інваріантність щодо масштабу, або скейлінг, — властивість рівнянь фізики зберігати свій вигляд при зміні всіх відстаней і проміжків часу в однакове число разів, тобто

${\displaystyle x\rightarrow k\cdot x\,\,\,\,y\rightarrow k\cdot y\,\,\,\,z\rightarrow k\cdot z\,\,\,\,t\rightarrow k\cdot t}$

Причому тут мається на увазі лише змінення одиниць вимірювання, сам простір-час залишається незмінним. Такі зміни, називані перетвореннями подібності, утворюють групу масштабових перетворень.

Перетворення фізичних величин

Під час масштабного перетворення одні фізичні величини залишаються незмінними, інші — змінюються відповідно до своєї розмірності. Причому тут йдеться про розмірність, дещо відмінну від розмірності SI, оскільки, наприклад, заряд у принципі не може змінюватися за масштабного перетворення, але в SI його одиниця є похідною від одиниці часу.

До масштабоінваріантних величин належать:

• безрозмірнісні величини
• маса: ${\displaystyle m\rightarrow m}$
• енергія: ${\displaystyle E\rightarrow E}$
• заряд: ${\displaystyle q\rightarrow q}$
• температура: ${\displaystyle T\rightarrow T}$

Змінюються за масштабного перетворення:

• площа: ${\displaystyle S\rightarrow k^{2}\cdot S}$
• об'єм: ${\displaystyle V\rightarrow k^{3}\cdot V}$
• густина струму: ${\displaystyle {\vec {j}}\rightarrow k^{-3}\cdot {\vec {j}}}$
• векторний потенціал: ${\displaystyle {\vec {A}}\rightarrow k^{-1}\cdot {\vec {A}}}$

Масштабна інваріантність у різних науках

Математика

У математиці поняття масштабної інваріантності зазвичай стосується інваріантності окремих функцій або кривих відносно перетворення подібності. Також близьким за змістом є поняття самоподібності. Крім того, деякі розподіли ймовірностей випадкових процесів демонструють масштабну інваріантність або самоподібність.

Класична теорія поля

У класичній теорії поля під масштабною інваріантністю часто розуміють інваріантність всієї теорії відносно перетворень подібності. Такі теорії зазвичай описують класичні фізичні процеси без характеристичної довжини.

Квантова теорія поля

У квантовій теорії поля масштабна інваріантність інтерпретується у термінах фізики елементарних частинок. У масштабоінваріантній теорії сила взаємодії частинок не повинна залежати від їх енергії^[1].

Статистична фізика

У статистичній фізиці масштабна інваріантність зустрічається двічі.

По-перше, це властивість фазових переходів. Ключовим елементом тут є те, що поблизу фазового переходу або критичної точки мають місце флуктуації будь-якого масштабу, і тому для опису цих явищ слід шукати масштабоінваріантну теорію.

По-друге, це властивість розподілу відкритого статистичного ансамблю (ВСА). Тут спільний член розподілу вкладеної підсистеми відповідає такому для вихідної системи.

Порушення масштабної інваріантності

Масштабні обмеження

Рівняння класичної фізики є масштабоінваріантними, якщо в їх розв'язки входить маса чи інші розмірнісні параметри, які змінюються за масштабного перетворення (наприклад, рівняння Максвелла).

Рівняння квантової фізики, наприклад, рівняння Клейна — Ґордона та рівняння Дірака, масштабоінваріантні тільки для відстаней, малих у порівнянні з комптонівською довжиною хвилі ${\displaystyle \lambda _{C}}$ відповідних частинок, та проміжків часу, малих у порівнянні з ${\displaystyle {\frac {\lambda _{C}}{c}}}$.

Глибоко непружні процеси

Порушення масштабної інваріантності виявлено під час зіткнень частинок. У фізиці елементарних частинок розглядають кілька альтернативних немасштабоінваріантних скейлінгів:

• скейлінг Бйоркена
• скейлінг Фейнмана
• скейлінг Коби — Нільсена — Олесена (KNO-скейлінг)

Див. також

• Безмасштабна мережа
• Степеневий розподіл