Інтервальна арифметика

Інтервальна арифметика — математична структура, яка для дійсних інтервалів визначає операції, аналогічні звичним арифметичним. Дана галузь математики називаються також інтервальним аналізом або інтервальними обчисленнями. Дана математична модель зручна для дослідження різних прикладних об'єктів:

• Величин, значення яких відомі лише наближено, тобто існує певний скінчений інтервал, в якому містяться ці значення.
• Величин, значення яких в ході обчислень спотворені похибками округлення.
• Випадкових величин.

Об'єкти та операції інтервальної арифметики можна розглядати як узагальнення моделі дійсних чисел, внаслідок чого, інтервали в деяких джерелах називаються інтервальними числами. Практична цінність цієї моделі пов'язана з тим, що результати вимірювань і обчислень практично завжди мають певну похибку, яку необхідно врахувати та оцінити.

Операції над інтервалами

Ми розглядатимемо всі скінченні дійсні інтервали ${\displaystyle [a,b]\ (a\leqslant b)}$. Операції над ними визначаються наступним чином:

• Додавання: ${\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}$
• Віднімання: ${\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}$
• Множення: ${\displaystyle [a,b]*[c,d]=[\min(ac,ad,bc,bd),\max(ac,ad,bc,bd)]}$
• Ділення: ${\displaystyle [a,b]/[c,d]=[\min(a/c,a/d,b/c,b/d),\max(a/c,a/d,b/c,b/d)]}$

З визначення видно, сума інтервалів містить усі можливі суми чисел із інтервалів-доданків і визначає границі інтервалу таких сум. Аналогічно пояснюються і інші дії. Відзначимо, що операція ділення визначена лише в тому випадку, якщо інтервал-дільник не містить нуля.

Вироджені інтервали, в яких початок і кінець збігаються, можна прирівняти до звичайних дійсних чисел. Для них дані вище визначення збігаються з класичними арифметичними діями.

Властивості операцій

Додавання та множення інтервалів комутативні та асоціативні. Дистрибутивність проявляється в послабленому вигляді: ${\displaystyle X(Y+Z)\subset XY+XZ}$

Властивості інтервалів

• Нижня границя інтервалу: ${\displaystyle {\underline {x}}}$
• Верхня границя інтервалу: ${\displaystyle {\overline {x}}}$
• Середина інтервалу: ${\displaystyle mid{\text{ }}x={\frac {({\overline {x}}+{\underline {x}})}{2}}}$
• Ширина інтервалу: ${\displaystyle wid{\text{ }}x={\overline {x}}-{\underline {x}}}$
• Радіус інтервалу: ${\displaystyle rad{\text{ }}x={\frac {({\overline {x}}-{\underline {x}})}{2}}}$
• Абсолютне значення: ${\displaystyle {\begin{vmatrix}x\end{vmatrix}}=max\{{\begin{vmatrix}{\underline {x}}\end{vmatrix}},{\begin{vmatrix}{\overline {x}}\end{vmatrix}}\}}$
  
• Відстань між інтервалами: ${\displaystyle dis(x,y)=max\{{\begin{bmatrix}{\underline {x}}-{\underline {y}}\end{bmatrix}},{\begin{vmatrix}{\overline {x}}-{\overline {y}}\end{vmatrix}}\}}$

Див. також

• Обчислювальна математика

Література

• Добронец Б. С. Интервальная математика^{[недоступне посилання з червня 2019]}. Красноярск: Издательство КГУ, 2004.
• Шарый С. П. Конечномерный интервальный анализ^{[недоступне посилання з червня 2019]}. М.: 2007.
• Шокин Ю. И. Интервальный анализ^{[недоступне посилання з червня 2019]}. Новосибирск: Сибирское отделение изд-ва «Наука», 1981.