Авторегресійне інтегроване ковзне середнє

У статистиці та економетриці, і зокрема в аналізі часових рядів, модель авторегресійної інтегрованої ковзної середньої, ARIMA (англ. autoregressive integrated moving average ) є узагальненням моделі авторегресійної ковзної середньої (ARMA). Обидві ці моделі адаптуються до даних часових рядів або для кращого розуміння даних, або для прогнозування. Моделі ARIMA застосовуються в деяких випадках, коли дані демонструють докази нестаціонарності. ^[1] Коли сезонність відображається в часовому ряді, можна застосувати сезонну різницю ^[2], щоб усунути сезонний компонент.

Визначення

Задано часовий ряд даних X_t, де t - ціле число і X_t - дійсні числа. Модель ${\displaystyle {\text{ARIMA}}(p',q)}$ визначається таким чином

${\displaystyle X_{t}-\alpha _{1}X_{t-1}-\dots -\alpha _{p'}X_{t-p'}=\varepsilon _{t}+\theta _{1}\varepsilon _{t-1}+\cdots +\theta _{q}\varepsilon _{t-q},}$

або еквівалентно:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}$

де ${\displaystyle L}$ - оператор запізнення (лаг), ${\displaystyle \alpha _{i}}$ - параметри авторегресійної частини моделі, ${\displaystyle \theta _{i}}$ - параметри рухомої середньої частини, а ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ - помилкові члени. Помилкові члени ${\displaystyle \varepsilon _{t}}$ зазвичай вважаються незалежними та однаково розподіленими випадковими величинами з нульовим середнім.

Припустимо тепер, що поліном ${\displaystyle \textstyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)}$ має одиничний корінь (множник ${\displaystyle (1-L)}$) кратності d. Тоді його можна переписати так:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p'}\alpha _{i}L^{i}\right)=\left(1-\sum _{i=1}^{p'-d}\varphi _{i}L^{i}\right)\left(1-L\right)^{d}.}$

Процес ARIMA(p, d, q) виражає цю властивість факторизації полінома з параметрами p=p'−d і визначається так:

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)(1-L)^{d}X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,}$

і може бути розглянутий як частковий випадок процесу ARMA(p+d, q), де авторегресійний поліном має d одиничних коренів. (З цієї причини жоден процес, який точно описується моделлю ARIMA з d > 0, не є широко-стаціонарний.)

Це можна узагальнити наступним чином.

${\displaystyle \left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)(1-L)^{d}X_{t}=\delta +\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}.\,}$

Це визначає процес ARIMA(p, d, q) з зсувом ${\displaystyle {\frac {\delta }{1-\sum \varphi _{i}}}}$.

Див. також

• Автокореляція
• АРМА
• Кінцева імпульсна характеристика