Метод Булірша — Штера

Метод Булірша — Штера — чисельний метод для чисельного розв'язання звичайних диференціальних рівнянь, який використовує екстраполяцію Річардсона для пришвидшення збіжності модифікованого методу середньої точки^[1] для отримання чисельних розв'язків звичайних диференціальних рівнянь з високою точністю та порівняно невеликими обчислювальними зусиллями. Він названий на честь Роланда Булірша^[en] та Йозефа Штера^[en]. Іноді його називають методом Грегга — Булірша — Штера за важливі результати про функцію похибки модифікованого методу середньої точки, що належить Вільяму Греггу^[en].

Основні ідеї

Ідея екстраполяції Річардсона полягає в тому, щоб розглянути числовий метод, точність якого залежить від використаного розміру кроку h, як (невідому) аналітичну функцію від розміру кроку h, виконати обчислення з різними значеннями h, підігнати отримані точки аналітичною функцією, а потім екстраполювати цю функцію до значення h = 0, таким чином намагаючись наближено оцінити результат обчислень з нескінченно малим кроком.

Булірш і Штер визнали, що використання раціональних функцій як функцій підгонки для екстраполяції Річардсона в числовому інтегруванні є кращим за використання поліноміальних функцій, оскільки раціональні функції здатні досить добре апроксимувати функції з полюсами (порівняно з поліноміальними функціями), враховуючи, що в знаменнику достатньо членів вищого степеня, щоб врахувати близькі полюси. Хоча поліноміальна інтерполяція або екстраполяція дає гарні результати лише в тому випадку, коли найближчий полюс знаходиться досить далеко за межами кола навколо обчислених точок у комплексній площині, інтерполяція або екстраполяція раціональних функцій може мати вражаючу точність навіть за наявності близьких полюсів.

Модифікований метод середньої точки сам по собі є методом другого порядку, і тому загалом поступається методам четвертого порядку, таким як метод Рунге-Кутти четвертого порядку. Однак він має перевагу, оскільки вимагає лише одного обчислення похідної на кожен підкрок (асимптотично для великої кількості підкроків), і, крім того, як виявив Грегг, для модифікованого методу середньої точки похибка кроку розміром H, що складається з n підкроків розміром h = H / n кожен, виражена як степеневий ряд за h, містить лише парні степені h. Це робить модифікований метод середньої точки надзвичайно корисним для методу Булірша-Штера, оскільки точність збільшується на два порядки за раз, коли за раз, поєднують результати окремих спроб пройти інтервал H зі збільшенням кількості підкроків об'єднуються.

Гайрер, Норсетт і Ваннер (1993)^[2] у своєму обговоренні методу, стверджують, що раціональна екстраполяція в цьому випадку майже ніколи не має переваг над поліноміальною інтерполяцією^[3]. Крім того, модифікований метод середньої точки є модифікацією звичайного методу середньої точки, щоб зробити його більш стійким, але через екстраполяцію це не має значення^[4].