Апроксимація Паде

Апроксимація Паде — класичний метод раціональної апроксимації аналітичних функцій, названий на честь французького математика Анрі Паде. Метод полягає у зображенні функції у вигляді відношення двох поліномів, причому коефіцієнти цих поліномів визначені коефіцієнтами розкладу функції в ряд Тейлора: якщо є розкладання

${\displaystyle f(z)=c_{n}+c_{1}z+c_{2}z^{2}+\ldots }$

то за допомогою апроксимації Паде можна оптимальним способом вибрати коефіцієнти ${\displaystyle a_{i}}$ і ${\displaystyle b_{i}}$ і отримати апроксимант

${\displaystyle {\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}}.}$

Використання цієї простої ідеї та її узагальнень призвело до багатьох результатів і перетворилося на фундаментальний метод дослідження.

Історія

Авторство Паде ґрунтується на його дисертації 1892 ^[1] (копія дисертації зберігається в бібліотеці Корнельського університету). У цій роботі він вивчав подібні апроксимації і розташував їх в таблицю, приділивши при цьому велику увагу експоненціальній функції.

Апроксимант Паде

Нехай є розкладання функції ${\displaystyle f(z)}$ у степеневий ряд Тейлора:

${\displaystyle f(z)=\sum _{i=0}^{\infty }{c_{i}z^{i}}}$, де ${\displaystyle c_{i}}$ — коефіцієнти ряду.

Апроксимантом Паде є раціональною функцією вигляду

${\displaystyle [L/M]={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}},}$

розкладання якої в ряд Маклорена (ряд Тейлора з центром в нулі) збігається з розкладанням функції ${\displaystyle f(z)}$ допоки це можливо. Функція такого виду має ${\displaystyle L+1}$ коефіцієнтів в чисельнику і ${\displaystyle M+1}$ — в знаменнику. Весь набір коефіцієнтів визначено з точністю до спільного множника, для визначенності нехай ${\displaystyle b_{0}=1}$. Тоді маємо ${\displaystyle L+M+1}$ незалежних невідомих коефіцієнтів. Логічно припустити, що коефіцієнти розкладання в ряд Маклорена апроксиманта Паде і даної функції збігаються для ${\displaystyle 1,z,z^{2},\ldots ,z^{L+M}}$, тобто для формального ряду виконується

${\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }{c_{i}z^{i}}={\frac {a_{0}+a_{1}z+\ldots +a_{L}z^{L}}{b_{0}+b_{1}z+\ldots +b_{M}z^{M}}}+O(z^{L+M+1}).}$

Узагальнення

• Багатоточкові апроксимації Паде^[2][3]
• Апроксимації Бейкера-Гаммеля^[3]
• Апроксимація функції декількох змінних^[3]
• Матричні апроксимації Паде^[4]
• Апроксимація Паде-Чебишева^[3]
• Апроксимація Паде-Фур'є^[3]

Див. також

• Анрі Паде
• Таблиця Паде
• Апроксимація