Арифметична прогресія

Арифмети́чна (аритмети́чна^[1]) прогре́сія — це послідовність дійсних чисел, кожен член якої, починаючи з другого, утворюється додаванням до попереднього члена одного й того ж числа. Загальний вид арифметичної прогресії:

${\displaystyle a_{1},\ a_{1}+d,\ a_{1}+2d,\ \ldots ,\ a_{1}+(n-1)d,\ \ldots }$

де ${\displaystyle a_{1}}$ — це перший член прогресії, ${\displaystyle d=a_{n+1}-a_{n}}$.

Число ${\displaystyle d}$ називають різницею арифметичної прогресії.

Арифметична прогресія є монотонною послідовністю. Якщо ${\displaystyle d>0}$, то вона зростає, а при ${\displaystyle d<0}$ вона спадає. Якщо ${\displaystyle d=0}$, то прогресія є сталою.

Знаходження n {\displaystyle n} -го члена арифметичної прогресії

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

${\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d}$

За означенням арифметичної прогресії:

${\displaystyle a_{2}=a_{1}+d;}$

${\displaystyle a_{3}=a_{2}+d=(a_{1}+d)+d=a_{1}+2d;}$

${\displaystyle a_{4}=a_{3}+d=(a_{1}+2d)+d=a_{1}+3d;}$

${\displaystyle a_{5}=a_{4}+d=(a_{1}+3d)+d=a_{1}+4d;\ldots }$

Простежується закономірність ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$.

Доведення.

Доведемо правильність гіпотези для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ за допомогою методу математичної індукції.

Для ${\displaystyle n=1}$:

${\displaystyle a_{1}=a_{1}+(1-1)d=a_{1}}$

Припустимо, що ${\displaystyle n=k}$:

${\displaystyle a_{k}=a_{1}+(k-1)d}$

Доведемо, що формула правильна для ${\displaystyle n=k+1}$, тобто що правильне наступне:

${\displaystyle a_{k+1}=a_{1}+kd}$

Для цього використаємо припущення:

${\displaystyle a_{k+1}=a_{k}+d=a_{1}+(k-1)d+d=a_{1}+kd-d+d=a_{1}+kd}$

Отже, формула ${\displaystyle n}$-го члена має вигляд:

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

Властивість арифметичної прогресії

Виразимо члени ${\displaystyle a_{n-1}}$ та ${\displaystyle a_{n+1}}$ через ${\displaystyle a_{n}}$ і ${\displaystyle d}$:

${\displaystyle a_{n-1}=a_{n}-d}$ і ${\displaystyle a_{n+1}=a_{n}+d}$

Знайдемо їхнє середнє арифметичне:

${\displaystyle {\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}={\frac {a_{n}-d+a_{n}+d}{2}}={\frac {a_{n}+a_{n}}{2}}=a_{n}}$

Тобто, будь-який член арифметичної прогресії, починаючи з другого, є середнім арифметичним двох сусідніх членів.

${\displaystyle \forall n\geq 2}$, ${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$

Сума перших членів арифметичної прогресії

Сума n послідовних членів починаючи з першого члена

Запишемо суму послідовних членів арифметичної прогресії двома способами:

${\displaystyle S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+\ldots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)}$

${\displaystyle S_{n}=(a_{1}+(n-1)d)+(a_{1}+(n-2)d)+\ldots +(a_{1}+d)+a_{1}}$

Додамо ці два вирази:

${\displaystyle 2S_{n}=(2a_{1}+(n-1)d)+(2a_{1}+(n-1)d)+\ldots +(2a_{1}+(n-1)d)+(2a_{1}+(n-1)d)}$

${\displaystyle 2S_{n}=n(2a_{1}+(n-1)d)}$

Поділимо обидві частини на 2:

${\displaystyle S_{n}={\frac {2a_{1}+(n-1)d}{2}}n={\frac {a_{1}+a_{1}+(n-1)d}{2}}n={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}n}$

Отже, сума ${\displaystyle n}$ перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

${\displaystyle S_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}={a_{1}+a_{n} \over 2}n={2a_{1}+d(n-1) \over 2}n}$

Сума n послідовних членів починаючи з k-го члена

Із арифметичної прогресії ${\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots ,a_{k},a_{k+1},a_{k+2},\ldots ,a_{k+n-1},\ldots \}}$ можна виділити підпослідовність ${\displaystyle \{b_{n}=a_{k+n-1}\}}$, що є арифметичною прогресією. Тоді сума ${\displaystyle n}$ перших членів ${\displaystyle \{b_{n}\}}$:

${\displaystyle S_{n}={b_{1}+b_{n} \over 2}n={a_{k}+a_{k+n-1} \over 2}n}$

Отже, сума ${\displaystyle n}$ послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з ${\displaystyle k}$-го члена:

${\displaystyle S_{n}={a_{k}+a_{k+n-1} \over 2}n}$

Сума перших n натуральних чисел

Анімоване доведення формули для знаходження суми перших n натуральних чисел

Суму перших ${\displaystyle n}$ натуральних чисел можна записати як:

${\displaystyle 1+2+\cdots +n=S_{n}={2\cdot 1+(n-1)\cdot 1 \over 2}n={1+n \over 2}n={n(n+1) \over 2}}$

Отже, сума перших ${\displaystyle n}$ натуральних чисел:

${\displaystyle 1+2+\cdots +n={\frac {n(n+1)}{2}}}$.

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія^[2] про те, як Карл Ґаусс відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб подовше зайняти дітей, учитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — ${\displaystyle 1+2+\dots +99+100}$. Ґаусс помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: ${\displaystyle 1+100=101}$, ${\displaystyle 2+99=101}$ тощо, і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює ${\displaystyle 5050}$. Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули ${\displaystyle {\frac {n(n+1)}{2}}}$, тобто до формули суми перших ${\displaystyle n}$ чисел натурального ряду.

Див. також

• Гармонічна прогресія (математика)
• Генеральна сукупність
• Геометрична прогресія
• Гіпотеза Ердеша про арифметичні прогресії
• Комбінаторика
• Математична індукція
• Монотонна послідовність
• Мультисекція ряду
• Рекурентне співвідношення
• Узагальнена арифметична прогресія
• Фігурні числа