Бруннове зачеплення

В теорії вузлів бруннове зачеплення — це нетривіальне зачеплення, яке розпадається при видаленні будь-якої з компонент. Іншими словами, розрізування будь-якого (топологічного) кільця розчіплює всі інші кільця (отже, жодні два з кілець не зчеплені, як у зачепленні Гопфа).

Це зачеплення з чотирьох компонент бруннове.

Бруннове зачеплення з шістьма компонентами.

Брунновими такі зачеплення названо на честь Германа Брунна^[en], який у статті 1892 року Über Verkettung навів їх приклади.

Приклади

Кільця Борромео є найпростішим брунновим зачепленням.

Найвідомішим і найпростішим брунновим зачепленням є кільця Борромео — зачеплення трьох кілець. Однак для будь-якого числа, починаючи з трьох, існує нескінченне число бруннових зачеплень, що містить таке число кілець. Існує декілька відносно простих зачеплень з трьох компонент, які не еквівалентні кільцям Борромео:

• 
  Зачеплення з 12 перетинами.
• 
  Зачеплення з 18 перетинами.
• 
  Зачеплення з 24 перетинами.

Найпростіше бруннове зачеплення, відмінне від кілець Борромео (які мають 6 перетинів), напевно, зачеплення L10a140^[en] з 10 перетинами^[1].

Приклад n-компонентного бруннового зачеплення — це бруннове зачеплення «гумових кілець»^[2], де кожна компонента охоплює попередню за схемою aba⁻¹b⁻¹ і останнє кільце зачіпляється за перше, утворюючи цикл.

Класифікація

Бруннові зачеплення описав з точністю до гомотопії Джон Мілнор у статті 1954 року^[3], і інваріанти, запроваджені ним, тепер називаються інваріантами Мілнора

(n + 1)-компонентне зачеплення можна розуміти як елемент групи зачеплення^[en] n незачеплених компонент (група зачеплення в цьому випадку є фундаментальною групою доповнення зачеплення). Група зачеплення n незачеплених компонент є вільним добутком n твірних, тобто вільною групою F_n.

Не будь-який елемент групи F_n породжує бруннове зачеплення. Мілнор показав, що група елементів, відповідних брунновим зачепленням, пов'язана з градуйованою алгеброю Лі^[en] нижнього центрального ряду вільної групи, і її можна розуміти як «співвідношення» у вільній алгебрі Лі.

Добутки Массі

Бруннові зачеплення можна розуміти зо допомогою добутків Массі^[en]: добуток Массі — це n-членний добуток, який визначений тільки якщо всі (n − 1)-членні добутки перетворюються на нуль. Це відповідає властивості бруннового зачеплення, в якому всі набори з (n − 1) компонент не зчеплені, але всі n компонент разом утворюють нетривіальне зачеплення.

Бруннові коси

Звичайна коса є брунновою — після видалення чорної нитки синя опиняється над червоною так, що вони виявляються розчепленими. Те саме відбувається після видалення інших ниток.

Бруннова коса — це коса, яка стає тривіальною після видалення будь-якої з її ниток. Бруннові коси утворюють підгрупу в групі кіс. Бруннові коси на сфері, які не є брунновими на (плоскому) крузі, дають нетривіальні елементи в групах гомотопій сфери. Наприклад, «стандартна» коса, відповідна кільцям Борромео, дає розшарування Гопфа S³ → S², і продовження такого плетива також дає бруннову косу.

Приклади з реального світу

Багато головоломок на розплутування та деякі механічні головоломки є варіантами бруннових зачеплень, і їх метою є звільнення якогось елемента, частково пов'язаного з іншою частиною головоломки.

Бруннові ланцюжки використовуються для створення декоративних прикрас з гумових кілець за допомогою пристроїв типу Wonder Loom^[en] або Rainbow Loom^[en].