Визначникова тотожність Сильвестра

У теорії матриць, визначникова тотожність Сильвестра — це тотожність корисна для обчислення певних типів визначників. Її назвали на честь Джеймса Джозефа Сильвестра, який навів цю тотожність без доведення у 1851.^[1]

Дано n×n-матрицю ${\displaystyle A}$ та два набори індексів

${\displaystyle u=(u_{1},\dots ,u_{m}),\ v=(v_{1},\dots ,v_{m})\subset (1,\dots ,n)}$

тобто, m-елементних впорядкованих підмножин ${\displaystyle (1,\dots ,n)}$, де m ≤ n. Нехай ${\displaystyle A_{v}^{u}}$ позначає (n−m)×(n−m) підматрицю ${\displaystyle A}$ отриману видаленням рядків з номерами ${\displaystyle u}$ та стовпців з номерами ${\displaystyle v}$. Позначимо додатково m×m матрицю ${\displaystyle {\tilde {A}}_{v}^{u}}$ елементами якої є наступні визначники

${\displaystyle ({\tilde {A}}_{v}^{u})_{ij}:=\det(A_{v[{\hat {v}}_{j}]}^{u[{\hat {u}}_{i}]}),}$

де ${\displaystyle u[{\hat {u_{i}}}]}$, ${\displaystyle v[{\hat {v_{j}}}]}$ позначають підмножину m-1 елементів ${\displaystyle u}$ і ${\displaystyle v}$, отримані шляхом видалення елементів ${\displaystyle u_{i}}$ та ${\displaystyle v_{j}}$ відповідно.

Тоді детермінантною тотожністю Сильвестра є:

${\displaystyle \det(A)\cdot (\det(A_{v}^{u}))^{m-1}=\det({\tilde {A}}_{v}^{u}).}$

Доведення тотожності спирається на формули для отриманя елементів у методі Гаусса перетворення матриці ${\displaystyle A}$ до трикутного вигляду.