Схема Бернуллі

Проводяться ${\displaystyle n}$ дослідів, у кожному з яких може відбутися певна подія («успіх») з імовірністю ${\displaystyle p}$ (або не відбутися — «невдача» — з імовірністю ${\displaystyle q=1-p}$). Завдання — знайти ймовірність отримання рівно ${\displaystyle m}$ успіхів у цих ${\displaystyle n}$ дослідах.

Розв'язок:

${\displaystyle P_{n}(m)=C_{n}^{m}p^{m}(1-p)^{n-m}}$ (формула Бернуллі).

Кількість успіхів — випадкова величина, яка має біноміальний розподіл.

Визначення

Для застосування схеми Бернуллі мають виконуватись такі умови:

• Кожне випробування має рівно два результати, умовно звані успіхом і невдачею.
• Незалежність випробувань: результат чергового експерименту не повинен залежати від результатів попередніх експериментів.
• Ймовірність успіху повинна бути сталою (фіксованою) для всіх випробувань.

Розглянемо стохастичний експеримент з двоелементним простором елементарних подій. Одну назвемо «успіхом», позначимо «1», іншу — «невдачею», позначимо «0». Нехай імовірність успіху ${\displaystyle 0<p<1}$, тоді ймовірність невдачі ${\displaystyle 1-p=q}$.

Розглянемо новий стохастичний експеримент, який полягає в ${\displaystyle n}$-разовому повторенні цього найпростішого стохастичного експерименту.

Зрозуміло, що простір елементарних подій ${\displaystyle \Omega }$, який відповідає цьому новому стохастичному експерименту буде ${\displaystyle \left\{\Omega =(a_{1},...,a_{n})|a_{i}={\overline {0,1}},i={\overline {1,n}}\right\rbrace }$ (1), ${\displaystyle N(\Omega )=2^{n}}$. За ${\displaystyle \sigma }$-алгебру подій ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ візьмемо булеан простору елементарних подій ${\displaystyle P(\Omega )}$ (2). Кожній елементарній події ${\displaystyle \omega \in \Omega }$ поставимо у відповідність число ${\displaystyle p(\omega )=p^{\sum _{i=1}^{n}a_{i}}q^{n-\sum _{i=1}^{n}a_{i}}}$. Якщо в елементарній події ${\displaystyle \omega }$ успіх спостерігається ${\displaystyle k}$ разів, а невдача — ${\displaystyle (n-k)}$ разів, то ${\displaystyle p(\omega )=p^{k}q^{n-k}}$. Нехай ${\displaystyle A_{k}=\{\omega \in \Omega |\sum _{i=1}^{n}a_{i}=k\},k={\overline {0,n}}}$, тоді ${\displaystyle P(A_{k})=\sum _{\omega \in A_{k}}P(\omega )=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}}$. Також є очевидною нормованість імовірності: ${\displaystyle \sum _{\omega \in \Omega }P(\omega )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{\omega \in A_{k}}P(\omega )=\sum _{k=0}^{n}C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=(p+q)^{n}=1^{n}=1}$.

Поставивши у відповідність кожній події ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ числове значення ${\displaystyle P(A)=\sum _{\omega \in A}P(\omega )}$ (3), ми знайдемо ймовірність ${\displaystyle P:{\mathcal {A}}\to \mathbb {R} }$. Побудований простір ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}$, де ${\displaystyle \Omega }$ — простір елементарних подій, визначений рівністю (1), ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ — ${\displaystyle \sigma }$-алгебра, визначена рівністю (2), P — імовірність, визначена рівністю (3), називається схемою Бернуллі для ${\displaystyle n}$ випробувань.

Набір чисел ${\displaystyle P_{n}(k)=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k},k={\overline {0,n}},n\in \mathbb {N} }$ називається біноміальним розподілом.

Узагальнення (поліноміальна схема)

Звичайна формула Бернуллі застосовна на випадок, коли за кожного випробування можлива одна з двох подій. Формулу Бернуллі можна узагальнити на випадок, коли за кожного випробування відбувається одна і тільки одна з ${\displaystyle k>2}$ подій з імовірністю ${\displaystyle p_{i}(i=1,2,...,k)}$, де ${\displaystyle p_{1}+...+p_{k}=1}$. Ймовірність появи ${\displaystyle m_{1}}$ разів першої події, ${\displaystyle m_{2}}$ — другої і ${\displaystyle m_{k}}$ раз k-ї знайдемо за формулою:

${\displaystyle P_{n}(m_{1},m_{2},...,m_{k})={\frac {n!}{m_{1}!m_{2}!...m_{k}!}}{p_{1}}^{m_{1}}{p_{2}}^{m_{2}}...{p_{k}}^{m_{k}}}$,

де ${\displaystyle n=m_{1}+m_{2}+...+m_{k}.}$

Теореми

В особливих умовах (за досить великих чи досить малих параметрів) для схеми Бернуллі використовують наближені формули з граничних теорем: теорема Пуассона, локальна теорема Муавра — Лапласа, інтегральна теорема Муавра — Лапласа.

Джерела

• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
• Шефтель З. Г. Теорія ймовірностей. — 2-е. — Київ : Вища школа, 1994. — 192 с.(укр.)
• Сеньо П. С. (2007). Теорія ймовірностей та математична статистика (вид. 2-ге.). Київ: Знання. с. 556.