Висловлювання (математична логіка)

У математичній логіці висловлювання (або замкнена формула) логіки предикатів — це правильно побудована формула^[en] без вільних змінних, яка набуває булевих значень. Висловлювання можна розглядати як пропозицію, щось, що має бути істинним або хибним. Обмеження щодо відсутності вільних змінних потрібне, щоб висловлювання мало конкретне, фіксоване значення істинності. Так як вільні змінні (загальної) формули можуть набувати різних значень істинності, то значення такої формули теж може змінюватись.

Висловлювання без будь-яких логічних зв'язків або кванторів відомі як атомарні висловлювання^[en], за аналогією до атомарних формул. У такому випадку висловлення будуються за допомогою атомарних формул через логічні зв'язки та квантори.

Множина висловлювань називається теорією^[en], де окремі висловлювання можуть називатися теоремами. Щоб оцінити істинність (чи хибність) висловлення належним чином, потрібно опиратись на інтерпретацію теорії. Для теорій першого порядку інтерпретації як правило називають структурами^[en]. Із визначеною структурою (чи інтерпретацією) висловлювання матиме фіксоване значення істинності. Теорія є виконуваною^[en], якщо можливо задати таку інтерпретацію, що всі її висловлювання будуть істинними. Дослідження алгоритмів для автоматичного знаходження інтерпретацій теорій, що роблять усі висловлювання істинними, відоме як проблема satisfiability modulo theories (задача розв'язності для логічних формул з урахуванням теорій, які лежать в їх основі).

Приклад

Для інтерпретації формул розглянемо такі структури: додатні дійсні числа, дійсні числа та комплексні числа . Наступний приклад у логіці першого порядку

${\displaystyle \forall y\ \exists x\ (y=x^{2})}$

є висловлювання. Це висловлювання означає, що для кожного значення ${\displaystyle y}$ існує таке значення ${\displaystyle x}$, що ${\displaystyle y=x^{2}}$. Це висловлювання є істинним для додатніх дійсних чисел, хибним для дійсних чисел та істинним для комплексних чисел.

Проте, формула

${\displaystyle \exists x\ (y=x^{2})}$

не є висловлюванням через наявність вільної змінної ${\displaystyle y}$. На множині дійсних чисел ця формула буде істинною, якщо підставити (довільно), наприклад, ${\displaystyle y=2}$, але буде хибною, якщо підставити ${\displaystyle y=-2}$.

Це відбувається не через непостійність значень істинності, а через наявність вільних змінних. Наприклад, навіть для комплексних чисел формула не вважається висловлюванням, хоча вона завжди істинна. Така формула може натомість називатись предикатом.

Див. також

• Замкнений вираз
• Відкрита формула^[en]
• Твердження (логіка)
• Пропозиція (логіка)