Відношення напрямлених відрізків

Відношення напрямлених відрізків — інваріант афінної геометрії. Використовується у формулюваннях теореми Менелая, теореми Чеви, теореми ван Обеля та інших.

Визначення

Відношення напрямлених відрізків визначено для двох відрізків ${\displaystyle XY}$ і ${\displaystyle ZT}$ на одній прямій (або на паралельних прямих) і позначається ${\displaystyle {\frac {XY}{ZT}}}$ . З точністю до знаку воно дорівнює відношенню довжин ${\displaystyle {\frac {|XY|}{|ZT|}}}$, і величина ${\displaystyle {\frac {XY}{ZT}}}$ додатна, якщо ${\displaystyle {\overrightarrow {XY}}}$ і ${\displaystyle {\overrightarrow {ZT}}}$ співнапрямлені, і від'ємна, якщо протинапрямлені. Іншими словами, величина ${\displaystyle {\frac {XY}{ZT}}}$ визначається як число, яке задовольняє такому співвідношенню:

${\displaystyle {\overrightarrow {XY}}={\frac {XY}{ZT}}\cdot {\overrightarrow {ZT}}.}$

Пов'язані визначення

Якщо три точки ${\displaystyle X,Y,Z}$ лежать на одній прямій, то відношення напрямлених відрізків ${\displaystyle {\frac {XY}{YZ}}}$ називається також простим відношенням точок ${\displaystyle X,Y,Z}$; воно додатне, якщо ${\displaystyle Y}$ лежить між ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Z}$, і від'ємне якщо ${\displaystyle Y}$ лежить поза відрізком ${\displaystyle XZ}$.

Властивості

• Відношення напрямлених відрізків є інваріантом афінних перетворень.

Див. також

• Подвійне відношення

Посилання

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П.. Новые встречи с геометрией. — М. : Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).