Відстань Геммінга

Відстань Геммінга (англ. Hamming distance)  — число позицій, у яких відповідні цифри двох двійкових слів однакової довжини різні^[1]. У загальнішому випадку відстань Геммінга застосовується для рядків однакової довжини будь-яких абеток, що складаються з q символів, і служить метрикою відмінності (функцією, що визначає відстань в метричному просторі) об'єктів однакової вимірності.

Іншими словами, відстань Геммінга вимірює мінімальну кількість замін, необхідних для зміни одного рядка в інший, або мінімальну кількість помилок, які могли перетворити одну стрічку в іншу. У більш загальному контексті відстань Хеммінга є однією з метрик рядків^[en] для вимірювання відстані редагування^[en] між двома послідовностями.

Спочатку метрика була сформульована Річардом Геммінгом під час його роботи в Bell Labs для визначення міри відмінності між кодовими комбінаціями (двійковими векторами) у векторному просторі кодових послідовностей, в цьому випадку відстанню Геммінга ${\displaystyle d(x,y)}$ між двома двійковими послідовностями (векторами) ${\displaystyle x}$ і ${\displaystyle y}$ довжини ${\displaystyle n}$ називається кількість позицій, в яких вони різні — в такому формулюванні відстань Геммінга увійшла в словник алгоритмів і структур даних^[en] національного інституту стандартів і технологій США.

Приклади

• ${\displaystyle d(10{\color {Blue}1}1{\color {Blue}1}01,10{\color {Red}0}1{\color {Red}0}01)=2}$
• ${\displaystyle d(2{\color {Blue}17}3{\color {Blue}8}96,2{\color {Red}23}3{\color {Red}7}96)=3}$
• ${\displaystyle d({\color {Blue}t}o{\color {Blue}n}e{\color {Blue}d},{\color {Red}r}o{\color {Red}s}e{\color {Red}s})=3}$

Властивості

Відстань Геммінга має властивості метрики, задовольняючи таким умовам:

• ${\displaystyle ~d(x,y)\geq 0}$
• ${\displaystyle ~d(x,x)=0}$
• ${\displaystyle ~d(x,y)=d(y,x)}$
• ${\displaystyle ~d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)}$

Відстань Геммінга в біоінформатиці та геноміці

Для нуклеїнових кислот (ДНК та РНК) можливість гібридизації двох полінуклеотидних ланцюгів з утворенням вторинної структури — подвійної спіралі — залежить від ступеня комплементарності нуклеотидних послідовностей обох ланцюгів. При збільшенні відстані Геммінга кількість водневих зв'язків, утворених комплементарними парами основ зменшується і, відповідно, зменшується стабільність подвійного ланцюга. Починаючи з деякої граничної відстані Геммінга гібридизація стає неможливою.

При еволюційному розходженні гомологічних ДНК-послідовностей відстань Геммінга є мірою, за якою можна судити про час, що пройшов з моменту розбіжності гомологів, наприклад, про тривалість еволюційного відрізку, що розділяє гени-гомолог і ген-попередник.

Див. також

• Відстань Левенштейна
• Виявлення та виправлення помилок
• Бент-функція