Гармонічний ряд

В математиці, гармонічним рядом називається нескінченний розбіжний ряд:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots .\!}$

Обчислення

${\displaystyle n}$-ною частковою сумою ${\displaystyle s_{n}}$ гармонічного ряду називається ${\displaystyle n}$-не гармонічне число:

${\displaystyle s_{n}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots +{\frac {1}{n}}}$

Деякі значення часткових сум

${\displaystyle {\begin{matrix}s_{1}&=&1\\\\s_{2}&=&{\frac {3}{2}}&=&1{,}5\\\\s_{3}&=&{\frac {11}{6}}&\approx &1{,}833\\\\s_{4}&=&{\frac {25}{12}}&\approx &2{,}083\end{matrix}}}$

${\displaystyle {\begin{matrix}s_{5}&=&{\frac {137}{60}}&\approx &2{,}283\\\\s_{6}&=&{\frac {49}{20}}&=&2{,}45\\\\s_{7}&=&{\frac {363}{140}}&\approx &2{,}593\\\\s_{8}&=&{\frac {761}{280}}&\approx &2{,}718\end{matrix}}}$

Розбіжність ряду

Гармонічний ряд розбіжний, щоправда розбіжність є дуже повільною (для того, щоб часткова сума перевищила 100, необхідно близько 10⁴³ елементів ряду).

Доведення 1

Розбіжність ряду можна довести погрупувавши доданки так:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}&{}=1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{9}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}>1+\left[{\frac {1}{2}}\right]+\left[{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4}}\right]+\left[{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{8}}\right]+\left[{\frac {1}{16}}+\cdots \right]+\cdots \\&{}=1+\ {\frac {1}{2}}\ \ \ +\quad {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \qquad \quad {\frac {1}{2}}\qquad \ \quad \ +\quad \ \ {\frac {1}{2}}\ \quad +\ \cdots .\end{aligned}}}$

Останній ряд, очевидно, розбіжний, що доводить твердження.

Доведення 2

Припустимо, що гармонічний ряд збіжний і його сума рівна ${\displaystyle ~S}$:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots =S}$

Тоді перегрупувавши доданки одержимо:

${\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots \right)}$

Винесемо із других дужок ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$:

${\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots \right)}$

Замінимо вираз в других дужках на ${\displaystyle ~S}$:

${\displaystyle S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)+{\frac {1}{2}}S}$

Перенесемо ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}S}$ в ліву частину:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}S=\left(1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots \right)}$

Замінивши ${\displaystyle ~S}$ сумою ряду одержимо:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{8}}+\cdots =1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+\cdots }$

Ця рівність хибна, оскільки одиниця більша однієї другої, одна третя більше однієї четвертої, і так далі. Таким чином припущення про збіжність ряду привело до суперечності.

Доведення 3

На початок запишемо суму геометричної прогресії:

${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=1+x+x^{2}+x^{3}+x^{4}+...}$

де |x|<1.

Візьмемо інтеграл з обох сторін, внаслідок чого одержимо:

${\displaystyle -\ln(1-x)=x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+...}$

Перейшовши до границі при ${\displaystyle x\rightarrow 1}$ одержуємо рівність:

${\displaystyle -\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+...=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}}$.

Оскільки ${\displaystyle -\lim _{x\to 1}\ln(1-x)=-(-\infty )=\infty }$, то також має місце ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty }$

Тобто гармонічний ряд є розбіжним.

Пов'язані ряди

Знакопереміжний гармонічний ряд

Перші 14 часткових сум знакопереміжного гармонійного ряду (чорні відрізки) збігаються до натурального логарифму 2 (червона пряма).

Ряд $${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-\cdots }$$ називається знакопереміжним гармонічним рядом. Він умовно збіжний за теоремою Лейбніца, але не абсолютно збіжний. Його сума - логарифм від 2^[en].^[1]

Використання знаків що чергуються з лише непарними знаменниками дасть пов'язаний ряд Лейбніца для знаходження π^[2] $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+\cdots ={\frac {\pi }{4}}.}$$

Див. також

• Гармонічна прогресія (математика)
• Гармонічне число
• Константа Майсселя — Мертенса