Геометрична скінченність

У геометрії групу ізометрій гіперболічного простору називають геометрично скінченною, якщо вона має коректну фундаментальну область. Гіперболічний многовид називається геометрично скінченним, якщо його можна описати в термінах геометрично скінченних груп.

Геометрично скінченні многогранники

Опуклий многогранник ${\displaystyle C}$ у гіперболічному просторі називається геометрично скінченним, якщо його замикання ${\displaystyle {\overline {C}}}$ у конформній компактифікації гіперболічного простору має наступну властивість:

• Для будь-якої точки ${\displaystyle x}$ в ${\displaystyle {\overline {C}}}$ існує окіл ${\displaystyle U}$ точки ${\displaystyle x}$ такий, що всі грані ${\displaystyle {\overline {C}}}$, що перетинаються з ${\displaystyle U}$, також проходять через ${\displaystyle x}$.^[1]

Наприклад, будь-який многогранник зі скінченною кількістю граней геометрично скінченний. У гіперболічному просторі розмірності не більше ${\displaystyle 2}$ будь-який геометрично скінченний многогранник має скінченну кількість сторін, але є геометрично скінченні многогранники у розмірності ${\displaystyle 3}$ і вище з нескінченною кількістю сторін. Наприклад, в евклідовому просторі ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ розмірності ${\displaystyle n\geq 2}$ є многогранник ${\displaystyle P}$ з нескінченною кількістю сторін. Модель верхньої напівплощини ${\displaystyle (n+1)}$-вимірного гіперболічного простору в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$ проектується на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, а обернений образ многогранника ${\displaystyle P}$ при цій проєкції є геометрично скінченним многогранником з нескінченною кількістю сторін.

Геометрично скінченний многогранник має лише скінченну кількість вершин, і всі сторони, крім скінченної кількості, перетинаються в одній з вершин.

Геометрично скінченні групи

Дискретна група ${\displaystyle G}$ ізометрій гіперболічного простору називається геометрично скінченною, якщо вона має фундаментальну область ${\displaystyle C}$, яка є опуклою, геометрично скінченною та точною (будь-яка грань є перетином ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle gC}$ для деякого ${\displaystyle g\in {G}}$).^[1]

У гіперболічних просторах розмірності не більше ${\displaystyle 3}$ кожен точний, опуклий фундаментальний многогранник для геометрично скінченних групи має лише скінченну кількість сторін, але у розмірності ${\displaystyle 4}$ і вище існують приклади многогранників з нескінченною кількістю сторін.^[2]

У гіперболічних просторах розмірності не більше ${\displaystyle 2}$ скінченно породжені дискретні групи є геометрично скінченними, але Грінберг (1966)^[3] показав, що існують приклади скінченно породжених дискретних груп у розмірності ${\displaystyle 3}$, які не є геометрично скінченними.

Геометрично скінченні многовиди

Гіперболічний многовид називається геометрично скінченними, якщо він має скінченну кількість компонентів, кожен з яких є гіперболічним фактор-простором за геометрично скінченною дискретною групою ізометрій.^[4]

Див. також

• Теорема про щільність груп Клейна^[en]
• Групи Клейна^[en]