Глобальна розмірність

У абстрактній алгебрі, глобальною розмірністю і слабкою глобальною розмірністю кільця R називаються означення розмірності, що загалом відрізняються від його розмірності Круля і визначаються з проективних, ін'єктивних чи плоских резольвент модулів над R. Розмірність Круля (відповідно глобальна, слабка) кільця R певною мірою вказує наскільки кільце відрізняється від кілець Артіна (відповідно напівпростих кілець, кілець регулярних за фон Нейманом). Ці розмірності є рівними нулю якщо і тільки якщо R є кільцем Артіна (напівпростим кільцем, кільцем регулярним за фон Нейманом). Ці три розмірності збігаються, якщо R є регулярним, зокрема якщо його гомологічна розмірність є скінченною ^[1]

Резольвенти

• Нехай ${\displaystyle M}$— модуль над кільцем R. Точна послідовність ${\displaystyle \longrightarrow ...\longrightarrow E_{n}\longrightarrow ...\longrightarrow E_{0}\longrightarrow M\longrightarrow 0}$ називається лівою резольвентою модуля ${\displaystyle M}$. Якщо для кожного ${\displaystyle i}$, модуль ${\displaystyle E_{i}}$ є проективним (відповідно, плоским, вільним), то ця резольвента називається проективною (відповідно плоскою, вільною). Якщо ${\displaystyle E_{n}\neq 0}$ і ${\displaystyle E_{i}=0}$ для всіх ${\displaystyle i>n}$, ця резольвента називається резольвентою довжини ${\displaystyle n}$. Якщо такого цілого числа ${\displaystyle n}$ немає, резольвента має нескінченну довжину.
• Точна послідовність ${\displaystyle \longleftarrow ...\longleftarrow E^{n}\longleftarrow ...\longleftarrow E^{0}\longleftarrow M\longleftarrow 0}$ називається правою резольвентою модуля ${\displaystyle M}$. Якщо для всіх ${\displaystyle i}$, модуль ${\displaystyle E^{i}}$ є ін'єктивним, ця резольвента називається ін'єктивною. Довжина ін'єктивної резольвенти визначається подібно до проективної.
• Для всіх R-модулів ${\displaystyle M}$ існують вільні, а отже, проективні і плоскі резольвенти. Також для всіх R-модулів ${\displaystyle M}$ існують ін'єктивні резольвенти ^[2].

Розмірність модуля

Позначимо ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}=\mathbb {Z} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}}$ і вважатимемо, що для всіх ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$, ${\displaystyle -\infty <n<+\infty }$, ${\displaystyle -\infty +n=-\infty }$ і ${\displaystyle +\infty +n=+\infty }$.

Нехай ${\displaystyle M}$ — лівий модуль над R. Його проективною (ін'єктивною, плоскою) розмірністю, що позначається ${\displaystyle pd_{R}\left(M\right)}$ (відповідно ${\displaystyle id_{R}\left(M\right),fd_{R}\left(M\right)}$ називається точна нижня грань в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}}$ довжин проективних (відповідно, ін'єктивних, плоских) резольвент для ${\displaystyle M}$. Приймається також ${\displaystyle pd_{R}\left(0\right)=id_{R}\left(0\right)=df_{R}\left(0\right)=-\infty }$.

Можна дати еквівалентні означення (зокрема за допомогою функтора Ext):

• Лівий R-модуль ${\displaystyle M}$має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0}$ для деякого лівого R-модуля ${\displaystyle N;}$

• Лівий R-модуль ${\displaystyle M}$має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0}$ для деякого циклічного лівого R-модуля ${\displaystyle N;}$

• Лівий R-модуль ${\displaystyle M}$має проективну розмірність n тоді і тільки тоді коли n є максимальним числом для якого ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0}$ для деякого скінченнопородженого лівого R-модуля ${\displaystyle N;}$

• ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)}$ є точним справа функтором від другого аргумента.

• Якщо ${\displaystyle m\geqslant n,}$послідовність модулів і гомоморфізмів

${\displaystyle 0\;\rightarrow \;X_{m}\;\rightarrow \;X_{m-1}\;\rightarrow \;\ldots \;\rightarrow \;X_{0}\;\rightarrow M\;\rightarrow \;0}$

є точною послідовністю і всі модулі ${\displaystyle X_{i},\;0\leq i<m}$ є проективними, то і модуль ${\displaystyle X_{n}}$ є проективним.

Для комутативних нетерових кілець проективна розмірність скінченномородженого модуля є локальною характеристикою, а саме виконується рівність:

${\displaystyle pd_{R}\left(M\right)=\sup _{{\mathfrak {m}}\ \in \ \operatorname {mspec} (R)}pd_{R_{\mathfrak {m}}}\left(M_{\mathfrak {m}}\right),}$

де ${\displaystyle \operatorname {mspec} (R)}$позначає множину максимальних ідеалів, а ${\displaystyle R_{\mathfrak {m}},M_{\mathfrak {m}}}$— локалізацію кільця і модуля за ідеалом

За допомогою двоїстості такі ж означення можна дати і для ін'єктивної розмірності.

Розмірність кільця

Глобальна розмірність

Нехай ${\displaystyle _{R}Mod}$ позначає категорію лівих R-модулів. Тоді дві такі величини є рівними^[3] :

1. ${\displaystyle \sup \left\{pd_{R}\left(M\right):M\in {}_{R}Mod\right\}}$
2. ${\displaystyle \sup \left\{id_{R}\left(M\right):M\in {}_{R}Mod\right\}}$

Їх спільне значення називається глобальною лівою розмірністю кільця R і позначається як ${\displaystyle lgd(R)}$. Ця величина є верхньою межею в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}}$ величин ${\displaystyle n}$, для яких є два ліві R-модулі ${\displaystyle M}$ і ${\displaystyle N}$ для яких ${\displaystyle Ext_{R}^{n}\left(M,N\right)\neq 0}$ (див. статтю Функтор Ext)

Так само можна визначити глобальну праву розмірність кільця R, яка позначається ${\displaystyle rgd(R)}$.

Справедливими також є рівності:

• ${\displaystyle lgd(R)=\sup _{I}\ pd_{R}R/I,}$де I є усіма лівими ідеалами кільця R.

• ${\displaystyle rgd(R)=\sup _{I}\ pd_{R}R/I,}$де I є усіма правими ідеалами кільця R.

Коли ${\displaystyle lgd(R)}$ = ${\displaystyle rgd(R)}$ (зокрема у випадку коли кільце R є комутативним), їхня спільна величина називається глобальною розмірністю кільця R і позначається ${\displaystyle gd(R)}$ ^[4].

Поняття глобальної розмірності поширюється на випадок будь-якої абелевої категорії ${\displaystyle {\mathfrak {C}}}$ так, що якщо ${\displaystyle {\mathfrak {C=}}_{R}Mod}$ (відповідно, ${\displaystyle {\mathfrak {C=}}Mod_{R}}$), ця розмірність ${\displaystyle gd\left({\mathfrak {C}}\right)}$ є рівною ${\displaystyle lgd(R)}$ (відповідно ${\displaystyle rgd(R)}$), визначеними вище ^[5]

Слабка розмірність

Дві такі величини є рівними ^[6] :

1. ${\displaystyle \sup \left\{fd_{R}\left(M\right):M\in {}_{R}Mod\right\},}$
2. ${\displaystyle \sup \left\{fd_{R}\left(M\right):M\in Mod_{R}\right\}.}$

Їх спільне значення називається слабкою глобальною розмірністю кільця R і позначається ${\displaystyle wgld(R)}$. Ця величина є верхньою межею в ${\displaystyle {\overline {\mathbb {Z} }}}$ чисел ${\displaystyle n}$, для яких існує правий R-модуль ${\displaystyle M}$ і лівий R-модуль ${\displaystyle N}$, для яких ${\displaystyle Tor_{n}^{R}\left(M,N\right)\neq 0}$ (див. статтю Функтор Tor).

Властивості і приклади.

• Модуль ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ раціональних чисел над кільцем ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ цілих чисел має плоску розмірність 0 і проективну розмірність 1.

• The module ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ над кільцем ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ має слабку розмірність 1 і ін'єктивну розмірність 0.

• Модуль ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ над кільцем ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ має слабку розмірність 0 і ін'єктивну розмірність 1.

• Нехай ${\displaystyle 0\;\rightarrow \;M'\;\rightarrow \;M\;\rightarrow \;M''\;\rightarrow \;0}$ є точною послідовністю лівих модулів над R і ${\displaystyle d=pd_{R}\left(M\right),\;d'=pd_{R}\left(M'\right),\;d''=pd_{R}\left(M''\right).}$ Тоді:

${\displaystyle d'\leq \max(d,d''-1),\;d''\leq \max(d,d'+1),\;d\leq \max(d',d'').}$

Зокрема якщо ${\displaystyle d<\max(d',d''),}$ ${\displaystyle d''=d'+1.}$

• Для того щоб модуль ${\displaystyle M}$ був проективним (ін'єктивним, плоским) необхідно і достатньо, щоб ${\displaystyle pd_{R}\left(M\right)\leq 0}$ (відповідно ${\displaystyle id_{R}\left(M\right)\leq 0,fd_{R}\left(M\right)\leq 0}$).

• Нехай ${\displaystyle R\to S}$ — гомоморфізм кілець. Тоді будь-який лівий S-модуль M можна розглядати як лівий R-модуль. При цьому:

${\displaystyle pd_{R}\left(M\right)\leq pd_{S}\left(M\right)+pd_{R}\left(S\right);}$

${\displaystyle fd_{R}\left(M\right)\leq fd_{S}\left(M\right)+fd_{R}\left({}_{R}S\right);}$

${\displaystyle id_{R}\left(M\right)\leq id_{S}\left(M\right)+id_{R}\left(S_{R}\right).}$

• Добуток нескінченної кількості полів має слабку розмірність 0 але ненульову глобальну розмірність.

• ${\displaystyle wgld\left(R\right)\leq lgd\left(R\right).}$ Якщо R є лівим нетеровим кільцем, то виконується рівність.
• Якщо R є нетеровим, то ${\displaystyle wgld(R)=lgd(R)=rgd(R)=gd(R)}$.
• Кільце матриць виду ${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbb {Z} &\mathbb {Q} \\0&\mathbb {Q} \end{bmatrix}}}$має праву глобальну розмірність рівну 1, ліву глобальну розмірність рівну 2 і слабку розмірність рівну 1. Дане кільце є нетеровим справа але не зліва.
• Нехай ${\displaystyle A}$ є комутативним кільцем; тоді ${\displaystyle gd(A\left[X\right])=gd(A)+1}$ (теорема Гілберта про сизигії)). Отже, якщо ${\displaystyle K}$ є полем (або, у більш загальному випадку, напівпростим комутативним кільцем), ${\displaystyle gd(K\left[X_{1},...,X_{n}\right])=n}$^[7].
• Нехай R — кільце головних ідеалів, що не є полем. Тоді ${\displaystyle gd\left(R\right)=1.}$
• Нехай R — комутативне кільце, ${\displaystyle S\subset R}$— мультиплікативна множина, яка не містить дільників нуля і ${\displaystyle T}$ — локалізація ${\displaystyle S^{-1}R}$. Тоді ${\displaystyle gd(T)\leq gd(R)}$ і ${\displaystyle wgld(T)\leq wgld(R)}$^[8].
• Область цілісності R є кільцем Прюфера, якщо і тільки якщо ${\displaystyle wgld(R)\leq 1}$^[9].

Регулярні кільця

• Кільце R називається лівим регулярним , якщо для кожного лівого скінченнопородженого R-модуля існує скінченна проективна резольвента. Подібним чином можна дати означення правого регулярного кільця. Кільце називається регулярним якщо воно є регулярним справа і зліва. ^[10] · ^[11] Для комутативних нетерових кілець це означення є еквівалентним стандартним.
• Якщо ${\displaystyle lgd(R)<+\infty }$, то R є очевидно лівим регулярним але Нагата дав у 1962 році приклад комутативного нетерового регулярного кільця з нескінченною глобальної розмірністю (і, відповідно, нескінченною розмірністю Круля) ^[12].
• Якщо R є регулярним комутативним кільцем, то всі локалізації ${\displaystyle T=S^{-1}R}$ R є регулярними.
• Якщо R є лівим регулярним нетеровим кільцем, то таким є і кільце ${\displaystyle R\left[X_{1},...,X_{n}\right]}$ (теорема Свана)^[13].