Граціозна розмітка

Граціозна розмітка^[1] в теорії графів — така вершинна розмітка графу з ${\displaystyle m}$ ребрами деякою підмножиною цілих чисел між 0 і ${\displaystyle m}$ включно, що різні вершини позначено різними числами, і така, що, якщо кожне ребро позначити абсолютною різницею міток вершин, які воно з'єднує, то всі отримані різниці будуть різними^[2]. Граф, який допускає граціозну розмітку, називають граціозним графом.

Граціозна розмітка. Вершинну розмітку показано чорним кольором, реберну — червоним

Автором терміна «граціозна розмітка» є Соломон Ґоломб; Александер Роса був першим, хто виділив цей клас розміток і ввів його під назвою ${\displaystyle \beta }$-розмітка в статті 1967 року про розмітки графів.^[3].

Однією з головних недоведених гіпотез у теорії графів є гіпотеза граціозності дерев (англ. Graceful Tree Conjecture), також відома як гіпотеза Рінгеля — Коціга за іменами її авторів Герхарда Рінґеля^[ru] і Антона Коціга^[en], яка стверджує, що всі дерева граціозні. Станом на 2017 гіпотезу все ще не доведено, але простота формулювання привернула широку увагу математиків-аматорів (внаслідок чого з'явилося багато неправильних доведень), Коціг свого часу навіть охарактеризував масові спроби довести її як «хворобу»^[4].

Основні результати

В оригінальній статті Роса довів, що ейлерів граф з числом ребер m ≡ 1 (mod 4) або m ≡ 2 (mod 4) не може бути граціозним.^[3] У ній же показано, що цикл C_n граціозний тоді і тільки тоді, коли n ≡ 0 (mod 4) або n ≡ 3 (mod 4).

Граціозні всі шляхи, гусениці, всі омари^[en] з досконалим паруванням^[5], всі колеса, стерна^[en], шестерні^[en], всі прямокутні решітки^[6], а також всі n-вимірні гіперкуби^[7]. Всі прості графи з 4 і менше вершинами граціозні, неграціозними простими графами на п'яти вершинах є тільки 5-цикл (п'ятикутник), повний граф K₅ і метелик.

Граціозні всі дерева з числом вершин не більше ніж 27; цей результат отримали 1988 року за допомогою комп'ютерної програми Альдред і Маккей^[en][6][8]; удосконалення їхнього підходу (із застосуванням іншого обчислювального методу) дозволило показати 2010 року, що граціозними є всі дерева до 35 вершин включно — це результат проєкту розподілених обчислень Graceful Tree Verification Project під керівництвом Веньцзе Фана^[9].