Гіпердійсні числа

Гіпердійсні числа (англ. hyper-real number) — розширення поля дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, яке містить числа, більші, ніж усі такі, що подаються у вигляді суми

${\displaystyle 1+1+\cdots +1.}$

Термін було введено американським математиком Едвіном Хьюіттом^[en] 1948 року^[1].

Формальне означення

Система гіпердійсних чисел являє собою строгий метод числення нескінченних і нескінченно малих величин. Множина гіпердійсних чисел ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$ являє собою впорядковане поле, розширення поля дійсних чисел ${\displaystyle \mathbb {R} }$, яке містить числа, більші, ніж усі такі, що можна подаюти у вигляді скінченної суми ${\displaystyle 1+1+\cdots +1.}$ Кожне таке число нескінченно велике, а обернене йому — нескінченно мале.

Гіпердійсні числа задовольняють принцип перенесення — строгий варіант евристичного закону неперервності Лейбніца. Принцип перенесення стверджує, що ствердження у логіці першого порядку про ${\displaystyle \mathbb {R} }$ справедливі і для ${\displaystyle ^{*}\mathbb {R} }$. Наприклад, правило комутативності додавання х + у = у + х, справедливе для гіпердійсних чисел так само, як і для дійсних.