Гіпотеза Каталана

Гіпотеза Каталана — твердження в теорії чисел:

Рівняння ${\displaystyle x^{a}-y^{b}=1\quad (x,y,a,b>1)}$ має єдиний розв'язок у натуральних числах: ${\displaystyle x=3,\ a=2,\ y=2,\ b=3}$.

Іншими словами, крім ${\displaystyle 2^{3}=8}$ і ${\displaystyle 3^{2}=9}$ не існує інших послідовних степенів натуральних чисел.

Гіпотезу сформулював Ежен Каталан 1844 року^[1][2].

2002 року математик румунського походження Преда Міхалеску^[en] в університеті міста Падерборн (Німеччина) довів цю гіпотезу^[3]. Відтоді доведену гіпотезу Каталана стали також називати теоремою Міхалеску.

Історія

Історія задачі сягає принаймні з Герсоніда, який довів частковий випадок гіпотези в 1343 році, де (x, y) було обмежено як (2, 3) або (3, 2).

Перший значний прогрес після того, як Каталан висловив свою гіпотезу, з'явився 1850 року, коли Віктор-Амеде Лебег^[de] розглянув випадок b = 2. Він довів, що рівняння x^m - y² = 1 не має розв'язку для y≠3^[4].

1921 року Т. Нагель повністю дослідив рівняння ${\displaystyle x^{3}-z^{t}=1}$ і ${\displaystyle x^{y}-z^{3}=1}$ для y≠2^[5].

Для рівняння ${\displaystyle x^{4}-z^{t}=1}$ задачу вирішив Сельберг (1932), а для рівняння ${\displaystyle x^{2}-z^{t}=1}$ — китайський математик Ко Чао (1960)^[5].

Таким чином гіпотезу було доведено в кількох окремих випадках.

Фундаментальний прорив стався в середині XX-го сторіччя, коли Кассельс довів таку теорему^[5]:

Нехай p та q — прості числа, такі, що p > q ≥ 2; a та b — цілі числа, більші одиниці, і ${\displaystyle a^{p}-b^{q}=\pm 1}$ Тоді a ділиться на q, а b ділиться на p.

Разом із деякими раннішими результатами теорема Кассельса вже дозволяла стверджувати, що якщо гіпотеза Каталана й не справджується, то лише для досить великих чисел (a, b > 10⁵)^[5].

1976 року Роберт Тейдеман^[en] застосував метод Бейкера^[en] в теорії трансцендентності для встановлення меж на a, b і використав існуючі результати, що обмежують x, y через a, b, щоб отримати ефективну верхню межу для x, y, a, b . Мішель Ланжевен обчислив значення ${\displaystyle \exp \exp \exp \exp 730\approx 10^{10^{10^{10^{317}}}}}$ для межі.^[6] Це розв'язало гіпотезу Каталана для всіх випадків, крім деякої скінченної (втім, дуже великої) кількості. Проте, остаточні обчислення, необхідні для завершення доведення теореми, були занадто трудомісткими.

Гіпотезу Каталана довів Преда Міхалеску в квітні 2002 року. Доведення опубліковано 2004 року в Journal für die reine und angewandte Mathematik. Воно широко застосовує теорію кругових полів та модулі Галуа^[en]. Юрій Білу продемонстрував доведення на семінарі Бурбакі^[en][7]. У 2005 році Міхалеску опублікував спрощене доведення^[8].

Узагальнення

Узагальненням гіпотези Каталана є гіпотеза Піллаї^[9]:

Для будь-якого натурального k (k>1) рівняння ${\displaystyle x^{m}-y^{n}=k}$ має лише скінчену кількість розв'язків ${\displaystyle (x,y,m,n)}$ у натуральних числах для ${\displaystyle (m,n)\neq (2,2)}$.

Див. також

• Гіпотеза Ферма — Каталана