Десяткова система числення

Десяткова система числення — це позиційна система числення із основою 10, кожне число в якій записується за допомогою 10-ти символів, цифр — 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Запис числа формується за загальним принципом: на n-й позиції (справа наліво від 0) стоїть цифра, що відповідає кількості n-х степенів десяти в цьому числі.

Наприклад: 123456 = 1·10⁵ + 2·10⁴ + 3·10³ + 4·10² + 5·10¹ + 6·10⁰

Дробова частина числа формується за таким самим принципом, тільки позиція цифри в дробовій частині відраховується від коми зліва направо починаючи з 1 і береться зі знаком «-».

Наприклад: 123,456 = 1·10² + 2·10¹ + 3·10⁰ + 4·10⁻¹ + 5·10⁻² + 6·10⁻³

Походження

Дві руки мають десять пальців — ймовірна причина існування десяткового числення.

Серед систем числення багатьох стародавніх цивілізацій для подання чисел використовували число десять і його степені, ймовірно саме тому, що на руках людей є десять пальців, а люди починали рахувати за допомогою пальців. Прикладом таких є вірменська, брахмі^[en], грецька, гебрайська^[en], римська і китайська системи числення. У цих системах важко подати дуже великі числа, і лише найкращі математики могли ділити і множити великі числа. Ці труднощі повністю вирішено із появою індо-арабської системи числення для описання цілих чисел. Цю систему розширили до можливості задавати не тільки цілі числа, а й десяткові дроби.

Визначення

Один десятковий розряд у десятковій системі числення іноді називають декадою. У цифровій електроніці одному десятковому розряду десяткової системи числення відповідає один десятковий тригер.

Ціле число x у десятковій системі числення подається у вигляді скінченної лінійної комбінації степенів числа 10:

${\displaystyle x=\pm \sum _{k=0}^{n-1}a_{k}10^{k}}$, де ${\displaystyle \ a_{k}}$ — це цілі числа, звані цифрами, що задовольняють нерівності ${\displaystyle 0\leq a_{k}\leq 9.}$

Зазвичай для ненульового числа x вимагають, щоб старша цифра ${\displaystyle a_{n-1}}$ у десятковому поданні x була також ненульовою. Наприклад, число сто три подається в десятковій системі числення у вигляді:

${\displaystyle 103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.}$

За допомогою n позицій у десятковій системі числення можна записати цілі числа від 0 до ${\displaystyle 10^{n}-1}$, тобто, всього ${\displaystyle 10^{n}}$різних чисел.

Дробові числа записуються у вигляді рядка цифр з роздільником «десяткова кома», званого десятковим дробом:

${\displaystyle a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{-m}=\sum _{k=-m}^{n-1}a_{k}10^{k},}$

де n — число розрядів цілої частини числа, m — число розрядів дробової частини числа.

Десяткові дроби

Десяткові дроби це числа, подані десятковими цифрами, які є раціональними числами, що задаються у вигляді дробу, знаменником якого є степені десяти.^[1] Наприклад, числа ${\displaystyle 0,8;14,89;0,00024}$ задають дроби 8/10, 1489/100, 24/100000. Тобто у загальному випадку, десяткове число із n цифрами після розділювача задає дріб із знаменником 10ⁿ, чисельником якого є ціле число, що отримується видаленням коми.

Двійково-десяткове кодування

У двійкових комп'ютерах застосовують двійково-десяткове кодування десяткових цифр, при цьому для однієї двійкової-десяткової цифри відводиться чотири двійкових розряди (двійкова тетрада). Двійково-десяткові числа вимагають більшої кількості бітів для свого зберігання. Так, чотири двійкових розряди мають 16 станів, і при двійково-десятковому кодуванні 6 з 16 станів двійкової тетради не використовуються.

Таблиця додавання в десятковій системі числення

+	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
2	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
3	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
4	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14
5	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
6	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
7	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
8	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
9	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
10	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Таблиця множення в десятковій системі

×	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
1	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	0	2	4	6	8	10	12	14	16	18	20
3	0	3	6	9	12	15	18	21	24	27	30
4	0	4	8	12	16	20	24	28	32	36	40
5	0	5	10	15	20	25	30	35	40	45	50
6	0	6	12	18	24	30	36	42	48	54	60
7	0	7	14	21	28	35	42	49	56	63	70
8	0	8	16	24	32	40	48	56	64	72	80
9	0	9	18	27	36	45	54	63	72	81	90
10	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Історія

Десяткова непозиційна система числення з одиничним кодуванням десяткових цифр (від 1 до 1 000 000) виникла в другій половині III тисячоліття до н. е. в Стародавньому Єгипті (єгипетська система числення).

В іншій великій цивілізації — вавилонській з її шістдесятковою системою — за дві тисячі років до н. е. всередині шістдесяткових розрядів використовувалася позиційна десяткова система числення з одиничним кодуванням десяткових цифр. Єгипетська десяткова система вплинула на аналогічну систему в перших європейських системах письма, таких як критські ієрогліфи, лінійне письмо А і лінійне письмо Б.

Найдавніший відомий запис позиційної десяткової системи виявлено в Індії в 595 р. Нуль тоді застосовували не тільки в Індії, але й у Китаї. У цих старовинних системах для запису однакового числа використовувалися символи, поруч з якими додатково позначали, в якому розряді вони стоять. Потім перестали позначати розряди, але число все одно можна було прочитати, оскільки у кожного розряду є своя позиція. А якщо позиція порожня, її потрібно позначити нулем. У пізніх вавилонських текстах такий знак став з'являтися, але в кінці числа його не ставили. Лише в Індії нуль остаточно зайняв своє місце, цей запис поширився потім по всьому світу.

Індійська система числення прийшла спочатку в арабські країни, потім і в Західну Європу. Про неї розповів середньоазійський математик Аль-Хорезмі. Прості й зручні правила додавання і віднімання чисел, записаних у позиційній системі, зробили його особливо популярним. А оскільки праця Аль-Хорезмі написана арабською, то за індійською нумерацією в Європі закріпилося неправильна назва — «арабська» (арабські цифри).

Див. також

• Система числення
• Арабська система цифр
• Префікси одиниць вимірювання