Дискретне перетворення Абеля

Перетворення Абеля є дискретним аналогом інтегрування частинами і також іноді називається сумуванням частинами^[1]. Перетворення широко використовується у теорії рядів для дослідження збіжності рядів, наприклад при доведенні ознак Абеля і Діріхле.

Формула перетворення

Нехай ${\displaystyle (a_{k}),(b_{k})}$ для ${\displaystyle (k\in \mathbb {N} )}$ є послідовностями дійсних чисел і ${\displaystyle B_{0}=0,}$ а для ${\displaystyle k\geqslant 1}$ за означенням ${\displaystyle B_{k}=b_{1}+b_{2}+\ldots +b_{k}.}$

Тоді для ${\displaystyle n\geqslant m\geqslant 1}$ виконується рівність:

${\displaystyle \sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}.}$

Якщо ${\displaystyle m=1}$ можна простіше записати:

${\displaystyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}.}$

Оскільки ${\displaystyle b_{k}=B_{k}-B_{k-1}}$ то еквівалентно формулу можна записати як:

${\displaystyle \sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum \limits _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}.}$

У цьому записі помітна аналогія із формулою інтегрування частинами:

${\displaystyle \int _{a}^{b}u(x)\,dv(x)={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}_{a}^{b}-\int _{a}^{b}v(x)\,du(x).}$

Доведення

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}(B_{k}-B_{k-1})=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k-1}=\\&=\sum _{k=m}^{n}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m-1}^{n-1}a_{k+1}B_{k}=\\&=a_{n}B_{n}+\sum _{k=m}^{n-1}a_{k}B_{k}-\sum _{k=m}^{n-1}a_{k+1}B_{k}-a_{m}B_{m-1}=\\&=a_{n}B_{n}-a_{m}B_{m-1}-\sum _{k=m}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k},\end{aligned}}}$

Оцінка сум добутків двох чисел

Дискретне перетворення використовується для оцінок сум виду ${\textstyle \sum \limits _{k=1}^{n}a_{k}b_{k},}$ які використовуються для дослідження збіжностей числових рядів.

Нехай ${\displaystyle (a_{k})}$ є монотонною послідовністю. Тоді у сумі у правій частині рівності

${\displaystyle \sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum \limits _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_{k})B_{k}}$

всі ${\displaystyle a_{k+1}-a_{k}}$ мають один знак і тому із цієї формули випливає:

${\displaystyle \left|\sum \limits _{k=m}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leqslant \left|a_{n}\right|\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|-\sum \limits _{k=1}^{n-1}\left|a_{k+1}-a_{k}\right|\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|=(|a_{1}|+2|a_{n}|)\max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.}$

Тобто остаточно:

${\displaystyle {\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leqslant (|a_{1}|+2|a_{n}|)\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.}$

Якщо ${\displaystyle (a_{k})}$ є спадною послідовністю додатних чисел, то простіше:

${\displaystyle {\bigg |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\bigg |}\leqslant a_{1}\cdot \max _{k=1,\ldots ,n}|B_{k}|.}$

Див. також

• Інтегрування частинами
• Ознака Абеля
• Ознака Діріхле
• Теорема Абеля — Руффіні
• Формула сумування Абеля

Література

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)