Еліптичні функції Абеля

У математиці еліптичні функції Абеля — це частинний випадок еліптичних функцій, які були дослідженні норвезьким математиком Нільсом Генріком Абелем. Свою статтю "Recherches sur les Fonctions elliptiques" він опублікував у журналі Крейля^[en] у 1827 році.^[1] Це була перша робота з еліптичних функцій, яка була дійсно опублікована.^[2] Робота Абеля про еліптичні функції також вплинула на дослідження Якобі про еліптичні функції, книга "Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum^[en]" якого, опублікована в 1829 році, стала стандартною роботою з еліптичних функцій.^[3]

Історія

Відправною точкою Абеля були еліптичні інтеграли, які були дуже детально вивчені Андрієм-Марі Ленджанром. Він почав свої дослідження в 1823 році, коли був іще студентом. Зокрема, він розглядав їх як функції комплексної змінної, які на той час були ще в зародковому стані. У наступні роки Абель продовжував досліджувати ці функції. Він також намагався узагальнити їх на функції з іще більшою кількістю періодів, але, здається, не поспішав публікувати свої результати.

Але на початку 1827 року він написав свою першу велику статтю "Recherches sur les fonctions elliptiques" про свої відкриття.^[4] Наприкінці того ж року йому стало відомо про Карла Густава Якобі та його роботи про нові перетворення еліптичних інтегралів. Потім Абель завершив другу частину своєї статті про еліптичні функції і в додатку показав як легко отримати результати про перетворення Якобі.^[5][3] Коли він пізніше побачив наступну публікацію Якобі, де той використовує еліптичні функції для доведення своїх результатів, не цитуючи Абеля, то норвезький математик зрозумів, що веде боротьбу з Якобі за пріоритет. Він завершує декілька нових статей щодо суміжних проблем, тепер вперше датуючи їх, але помирає менше ніж через рік, у 1829 році.^[6] Тим часом Якобі завершує свою велику роботу Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum^[en] про еліптичні функції, яка публікується у цьому ж році у вигляді книги. У підсумку це визначило стандартний вигляд еліптичних функцій у наступні роки.^[6]

Виведення з еліптичних інтегралів

Розглянемо еліптичний інтеграл першого роду в наступній симетричній формі:^[7]

${\displaystyle {\begin{aligned}\alpha (x):=\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}},\quad {\text{де}}\quad c,e\in \mathbb {R} .\end{aligned}}}$

${\displaystyle \alpha }$ є непарною зростаючою функцією на інтервалі ${\displaystyle {\big [}{-}{\tfrac {1}{c}},{\tfrac {1}{c}}{\big ]}}$ з максимумом:^[2]

${\displaystyle {\frac {\omega }{2}}:=\int _{0}^{1/c}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {(1-c^{2}t^{2})(1+e^{2}t^{2})}}}.}$

Це означає, що функція ${\displaystyle \alpha }$ є оборотною: існує функція ${\displaystyle \varphi }$ така, що ${\displaystyle x=\varphi (\alpha (x))}$, яка визначена на інтервалі ${\displaystyle {\big [}{-}{\tfrac {\omega }{2}},{\tfrac {\omega }{2}}{\big ]}}$.

Як і функція ${\displaystyle \alpha }$, вона залежить від параметрів ${\displaystyle c}$ і ${\displaystyle e}$, які можна виразити, записавши ${\displaystyle \varphi (u;e;c)}$.

Оскільки ${\displaystyle \alpha }$ є непарною функцією, то ${\displaystyle \varphi }$ також є непарною функцією, тобто ${\displaystyle \varphi (-u)=-\varphi (u)}$.

Взявши похідну відносно ${\displaystyle u}$, отримуємо

${\displaystyle \varphi '(u)={\sqrt {(1-c^{2}\varphi ^{2}(u))(1+e^{2}\varphi ^{2}(u))}},}$

яка є парною функцією, тобто ${\displaystyle \varphi (-u)=\varphi (u)}$.

Абель представив нові функції

${\displaystyle f(u)={\sqrt {1-c^{2}\varphi ^{2}(u)}},\quad F(u)={\sqrt {1+e^{2}\varphi ^{2}(u)}}.}$

Таким чином, ^[2]

${\displaystyle \varphi '(u)=f(u)F(u).}$

${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle F}$ — функції, відомі як еліптичні функції Абеля. Їх можна продовжити за допомогою теорем додавання. Наприклад, додавши ${\displaystyle \pm {\tfrac {1}{2}}\omega }$, отримуємо

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi \left(u\pm {\frac {\omega }{2}}\right)=\pm {\frac {1}{c}}{\frac {f(u)}{F(u)}},\\&f\left(u\pm {\frac {\omega }{2}}\right)=\mp {\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{\frac {\varphi (u)}{F(u)}},\\&F\left(u\pm {\frac {\omega }{2}}\right)={\frac {\sqrt {c^{2}+e^{2}}}{c}}{\frac {1}{F(u)}}.\end{aligned}}}$

Комплексне розширення

Функцію ${\displaystyle \varphi }$ можна продовжити на чисто уявні числа за допомогою заміни ${\displaystyle t\to {\rm {i}}t}$. Як результат отримуємо ${\displaystyle x{\rm {i}}=\varphi (\beta {\rm {i}})}$, де

${\displaystyle \beta (x)=\int _{0}^{x}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}.}$

${\displaystyle \beta }$ є зростаючою функцією на інтервалі ${\displaystyle {\big [}{-}{\tfrac {1}{e}},{\tfrac {1}{e}}{\big ]}}$ з максимумом^[8]

${\displaystyle {\frac {\tilde {\omega }}{2}}:=\int _{0}^{1/e}{\frac {{\rm {d}}x}{\sqrt {(1+c^{2}t^{2})(1-e^{2}t^{2})}}}.}$

Це означає, що функції ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle F}$ відомі вздовж дійсної та уявної осей. Знову використовуючи теореми додавання, їх можна розширити на комплексну площину.

Наприклад, для ${\displaystyle \alpha \in {\big [}{-}{\frac {\omega }{2}},{\frac {\omega }{2}}{\big ]}}$ отримаємо

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \left(\alpha +{\frac {1}{2}}{\tilde {\omega }}{\rm {i}}\right)&={\frac {\varphi (\alpha )f\left({\frac {1}{2}}{\tilde {\omega }}{\rm {i}}\right)F\left({\frac {1}{2}}{\tilde {\omega }}{\rm {i}}\right)+\varphi \left({\frac {1}{2}}{\tilde {\omega }}{\rm {i}}\right)f(\alpha )F(\alpha )}{1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )\varphi ^{2}\left({\frac {1}{2}}{\tilde {\omega }}{\rm {i}}\right)}}\\&={\frac {{\frac {\rm {i}}{e}}f(\alpha )F(\alpha )}{1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(\alpha ){\frac {{\rm {i}}^{2}}{e^{2}}}}}={\frac {\rm {i}}{e}}{\frac {f(\alpha )F(\alpha )}{1-c^{2}\varphi ^{2}(\alpha )}}\\&={\frac {\rm {i}}{e}}{\frac {f(\alpha )F(\alpha )}{f^{2}(\alpha )}}={\frac {\rm {i}}{e}}{\frac {F(\alpha )}{f(\alpha )}}.\end{aligned}}}$

Подвійна періодичність і полюси

Періодичність функцій ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle f}$ та ${\displaystyle F}$ можна показати за допомогою багатократного використання теорем додавання. Усі три функції є подвійно періодичними, тобто мають два ${\displaystyle \mathbb {R} }$ -лінійно незалежні періоди на комплексній площині:^[9]

${\displaystyle \varphi (\alpha +2\omega )=\varphi (\alpha )=\varphi (\alpha +2{\tilde {\omega }}{\rm {i}})=\varphi (\alpha +\omega +{\tilde {\omega }}{\rm {i}}),}$

${\displaystyle f(\alpha +2\omega )=f(\alpha )=f(\alpha +{\tilde {\omega }}{\rm {i}}),}$

${\displaystyle F(\alpha +\omega )=F(\alpha )=F(\alpha +2{\tilde {\omega }}{\rm {i}}).}$

Полюси функцій ${\displaystyle \varphi (\alpha )}$, ${\displaystyle f(\alpha )}$ і ${\displaystyle F(\alpha )}$ знаходяться в точках^[10]

${\displaystyle \alpha ={\big (}m+{\tfrac {1}{2}}{\big )}\omega +{\big (}n+{\tfrac {1}{2}}{\big )}{\tilde {\omega }}{\rm {i}},\quad {\text{для}}\quad m,n\in \mathbb {Z} .}$

Зв'язок з еліптичними функціями Якобі

Еліптичні функції Абеля можна виразити через еліптичні функції Якобі, які не залежать від параметрів ${\displaystyle c}$ і ${\displaystyle e}$, але залежать від модуля ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (u;c,e)={\frac {1}{c}}\operatorname {sn} (cu,k),\\&f(u;c,e)=\operatorname {cn} (cu,k),\\&F(u;c,e)=\operatorname {dn} (cu,k).\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle k={\dfrac {{\rm {i}}e}{c}}}$

Теореми додавання

Для функцій ${\displaystyle \varphi }$, ${\displaystyle f}$ і ${\displaystyle F}$ справедливі наступні теореми додавання:^[8]

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (\alpha +\beta )={\frac {\varphi (\alpha )f(\beta )F(\beta )+\varphi (\beta )f(\alpha )F(\alpha )}{R}},\\&f(\alpha +\beta )={\frac {f(\alpha )f(\beta )-c^{2}\varphi (\alpha )\varphi (\beta )F(\alpha )F(\beta )}{R}},\\&F(\alpha +\beta )={\frac {F(\alpha )F(\beta )+e^{2}\varphi (\alpha )\varphi (\beta )f(\alpha )f(\beta )}{R}}.\end{aligned}}}$

де ${\displaystyle R=1+c^{2}e^{2}\varphi ^{2}(\alpha )\varphi ^{2}(\beta )}$.

Вони випливають з теорем додавання для еліптичних інтегралів, які довів Ейлер.^[8]