Еліптичні інтеграли

В інтегральному численні еліпти́чний інтегра́л з'явився у зв'язку із завданням обчислення довжини дуги еліпса і був вперше досліджений Джуліо Фаніано і Леонардом Ейлером.

Еліптичні інтеграли є оберненими функціями до еліптичних функцій Якобі. З історичної точки зору спочатку були відкриті еліптичні інтеграли.

Визначення

Еліптичні інтеграли — це інтеграли виду

${\displaystyle \int _{C}^{y}{R\left(x,{\sqrt {ax^{3}+bx^{2}+cx+e}}\right)\,dx}}$

та

${\displaystyle \int _{C}^{y}{R\left(x,{\sqrt {ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+ex+f}}\right)\,dx},}$

де ${\displaystyle \mathbb {} R}$ — деяка раціональна функція, у випадку, коли ці інтеграли не виражаються через елементарні функції а ${\displaystyle C}$ — деяка стала. У результаті ряду перетворень можна кожен з таких інтегралів звести до елементарних функцій і до еліптичних інтегралів першого, другого та третього роду, відповідно:

${\displaystyle F(\varphi ;k)=\int _{0}^{\sin \varphi }{dt \over {\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},\quad E(\varphi ;k)=\int _{0}^{\sin \varphi }{(1-k^{2}t^{2})\,dt \over {\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},}$
${\displaystyle \quad \Pi (\varphi ;k,h)=\int _{0}^{\sin \varphi }{dt \over {\sqrt {(1+ht^{2})(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},\qquad (0<k<1).}$

Якщо зробити підстановку ${\displaystyle t=\sin \psi \quad (0<\psi <\pi /2)\!}$, одержимо запис еліптичних інтегралів у лежандровій формі:

${\displaystyle F(\varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{d\psi \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\psi }}},\quad E(\varphi ;k)=\int _{0}^{\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\psi }}\,d\psi },}$
${\displaystyle \quad \Pi (\varphi ;k,h)=\int _{0}^{\varphi }{{d\psi } \over {(1+h\sin ^{2}\psi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\psi }}}}.}$

Величина ${\displaystyle \varphi \!}$ називається амплітудою, стала ${\displaystyle k\!}$ — модулем еліптичного інтегралу, а ${\displaystyle h\!}$ — параметром.

SEM-001

Еліптичні інтеграли першого роду

${\displaystyle F{(\varphi };k)=\int \limits _{0}^{\varphi }{d\psi \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\psi }}}=\int \limits _{0}^{\sin \varphi }{dt \over {{\sqrt {1-t^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}}}\!}$

Еліптичні інтеграли першого роду ${\displaystyle F(\varphi ;k),\;k=\sin \alpha \!}$
	0°	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°
0°	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
10	0.1745	0.1746	0.1746	0.1748	0.1749	0.1751	0.1752	0.1753	0.1754	0.1754
20	0.3491	0.3493	0.3499	0.3508	0.3520	0.3533	0.3545	0.3555	0.3561	0.3564
30	0.5236	0.5243	0.5263	0.5294	0.5334	0.5379	0.5422	0.5459	0.5484	0.5493
40	0.6981	0.6997	0.7043	0.7116	0.7213	0.7323	0.7436	0.7535	0.7604	0.7629
50	0.8727	0.8756	0.8842	0.8982	0.9173	0.9401	0.9647	0.9876	1.0044	1.0107
60	1.0472	1.0519	1.0660	1.0896	1.1226	1.1643	1.2126	1.2619	1.3014	1.3170
70	1.2217	1.2286	1.2495	1.2853	1.3372	1.4068	1.4944	1.5959	1.6918	1.7354
80	1.3963	1.4056	1.4344	1.4846	1.5597	1.6660	1.8125	2.0119	2.2653	2.4362
90	1.5708	1.5828	1.6200	1.6858	1.7868	1.9356	2.1565	2.5046	3.1534	${\displaystyle \infty }$

Еліптичні інтеграли другого роду

${\displaystyle E{(\varphi };k)=\int \limits _{0}^{\varphi }{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\psi }}\,d\psi =\int \limits _{0}^{\sin \varphi }{\sqrt {{1-k^{2}t^{2}} \over {1-t^{2}}}}\,dt}\!}$

Еліптичні інтеграли другого роду ${\displaystyle E(\varphi ;k),\;k=\sin \alpha \!}$
	0°	10°	20°	30°	40°	50°	60°	70°	80°	90°
0°	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000	0.0000
10	0.1745	0.1745	0.1744	0.1743	0.1742	0.1740	0.1739	0.1738	0.1737	0.1736
20	0.3491	0.3489	0.3483	0.3473	0.3462	0.3450	0.3438	0.3429	0.3422	0.3420
30	0.5236	0.5229	0.5209	0.5179	0.5141	0.5100	0.5061	0.5029	0.5007	0.5000
40	0.6981	0.6966	0.6921	0.6851	0.6763	0.6667	0.6575	0.6497	0.6446	0.6428
50	0.8727	0.8698	0.8614	0.8483	0.8317	0.8134	0.7954	0.7801	0.7697	0.7660
60	1.0472	1.0426	1.0290	1.0076	0.9801	0.9493	0.9184	0.8914	0.8728	0.8660
70	1.2217	1.2149	1.1949	1.1632	1.1221	1.0750	1.0266	0.9830	0.9514	0.9397
80	1.3963	1.3870	1.3597	1.3161	1.2590	1.1926	1.1225	1.0565	1.0054	0.9848
90	1.5708	1.5589	1.5238	1.4675	1.3931	1.3055	1.2111	1.1184	1.0401	1.0000

Еліптичні інтеграли третього роду

${\displaystyle \quad \Pi (\varphi ;k,h)=\int _{0}^{\varphi }{{d\psi } \over {(1+h\sin ^{2}\psi ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\psi }}}}=\int _{0}^{\sin \varphi }{dt \over {\sqrt {(1+ht^{2})(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}}.}$

Повні еліптичні інтеграли

${\displaystyle \mathbf {K} (k)=F{\left({\pi \over 2};k\right)}=\int \limits _{0}^{\pi \over 2}{d\psi \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\psi }}}=\int \limits _{0}^{1}{dt \over {{\sqrt {1-t^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}}}\!}$

${\displaystyle \mathbf {E} (k)=E{\left({\pi \over 2};k\right)}=\int \limits _{0}^{\pi \over 2}{{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\psi }}\,d\psi =\int \limits _{0}^{1}{\sqrt {{1-k^{2}t^{2}} \over {1-t^{2}}}}\,dt}\!}$

Повні еліптичні інтеграли ${\displaystyle k=\sin \alpha \!}$
${\displaystyle \alpha \!}$°	${\displaystyle \mathbf {K} }$	${\displaystyle \mathbf {E} }$	${\displaystyle \alpha \!}$°	${\displaystyle \mathbf {K} }$	${\displaystyle \mathbf {E} }$	${\displaystyle \alpha \!}$°	${\displaystyle \mathbf {K} }$	${\displaystyle \mathbf {E} }$
0	1.5708	1.5708	30	1.6858	1.4675	60	2.1565	1.2111
1	1.5709	1.5707	31	1.6941	1.4608	61	2.1842	1.2015
2	1.5713	1.5703	32	1.7028	1.4539	62	2.2132	1.1920
3	1.5719	1.5697	33	1.7119	1.4469	63	2.2435	1.1826
4	1.5727	1.5689	34	1.7214	1.4397	64	2.2754	1.1732
5	1.5738	1.5678	35	1.7312	1.4323	65	2.3088	1.1638
6	1.5751	1.5665	36	1.7415	1.4248	66	2.3439	1.1545
7	1.5767	1.5649	37	1.7522	1.4171	67	2.3809	1.1453
8	1.5785	1.5632	38	1.7633	1.4092	68	2.4198	1.1362
9	1.5805	1.5611	39	1.7748	1.4013	69	2.4610	1.1272
10	1.5828	1.5589	40	1.7868	1.3931	70	2.5046	1.1184
11	1.5854	1.5564	41	1.7992	1.3849	71	2.5507	1.1096
12	1.5882	1.5537	42	1.8122	1.3765	72	2.5998	1.1011
13	1.5913	1.5507	43	1.8256	1.3680	73	2.6521	1.0927
14	1.5946	1.5476	44	1.8396	1.3594	74	2.7081	1.0844
15	1.5981	1.5442	45	1.8541	1.3506	75	2.7681	1.0764
16	1.6020	1.5405	46	1.8691	1.3418	76	2.8327	1.0686
17	1.6061	1.5367	47	1.8848	1.3329	77	2.9026	1.0611
18	1.6105	1.5326	48	1.9011	1.3238	78	2.9786	1.0538
19	1.6151	1.5283	49	1.9180	1.3147	79	3.0617	1.0468
20	1.6200	1.5238	50	1.9356	1.3055	80	3.1534	1.0401
21	1.6252	1.5191	51	1.9539	1.2963	81	3.2553	1.0338
22	1.6307	1.5141	52	1.9729	1.2870	82	3.3699	1.0278
23	1.6365	1.5090	53	1.9927	1.2776	83	3.5004	1.0223
24	1.6426	1.5037	54	2.0133	1.2681	84	3.6519	1.0172
25	1.6490	1.4981	55	2.0347	1.2587	85	3.8317	1.0127
26	1.6557	1.4924	56	2.0571	1.2492	86	4.0528	1.0086
27	1.6627	1.4864	57	2.0804	1.2397	87	4.3387	1.0053
28	1.6701	1.4803	58	2.1047	1.2301	88	4.7427	1.0026
29	1.6777	1.4740	59	2.1300	1.2206	89	5.4349	1.0008
30	1.6858	1.4675	60	2.1565	1.2111	90	${\displaystyle \infty }$	1.0000

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2025. — 2391 с.(укр.)
• E.T. Whittaker, G. N. Watson(інші мови). A Course of Modern Analysis. — 5th. — Cambridge, 1902,1927. — 668 с.(англ.)
• Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. — 13-е изд., исправленное. — М. : Наука, 1986. — 544 с. (рос.)