Ергодичність

Ергоди́чність (або транзитивність) — спеціальна властивість деяких (динамічних) систем, яка полягає в тому, що в процесі еволюції такої системи майже кожна точка її з певною ймовірністю проходить поблизу будь-якої іншої точки системи. Тоді при розрахунках час, який важко розраховувати, можна замінити фазовими (просторовими) показниками. Система, в якій фазові середні збігаються з часовими, називається ергодичною.

Опис

Перевага ергодичних динамічних систем полягає в тому, що при достатньому часу спостереження такі системи можна описувати статистичними методами. Наприклад, температура газу — це міра середньої енергії молекули, ринкова ціна компанії — це міра похідних функцій від даних бухгалтерської звітності. Звісно, необхідно попередньо довести ергодичність даної системи.

Для ергодичних систем математичне сподівання по часових рядах має збігатися з математичним сподіванням по просторових рядах.

Ергодична теорія — один з розділів загальної динаміки.

Е.Лоренц висловив думку, що кліматична система є майже ергодичною, тобто її фазовий простір розпадається на ряд множин ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{i}}$ із певними умовними ймовірностними мірами ${\displaystyle P_{i}(A),\,\,A\in {\mathfrak {A}}_{i}}$, і фазові траєкторії можуть тривалий, але скінченний час перебувати у кожній з цих множин (відвторюючи відповідний клімат ${\displaystyle P_{i}(A),\,\,A\subset {\mathfrak {A}}_{i}}$) та рідко переходити з однієї з цих множин до іншої.

Едварду Лоренцу належить математичний приклад майже інтразитивної (ергодичної) системи - ідеалізована нестаціонарна тримодова роликова конвекція рідини, у якій безрозмірні функції течії ${\displaystyle \psi }$ й відхилення температури від лінійного вертикального профілю ${\displaystyle \vartheta }$ у площині ${\displaystyle (x,y)}$ мають вигляд

${\displaystyle \psi =X{\sqrt {2}}\sin {\frac {k_{1}x}{H}}\sin {\frac {\pi z}{H}};}$

${\displaystyle \vartheta =Y{\sqrt {2}}\cos {\frac {k_{1}x}{H}}\sin {\frac {\pi z}{H}}-Z\sin {\frac {2\pi z}{H}},}$

а залежність амплітуд ${\displaystyle X,Y,Z}$ від часу ${\displaystyle t}$ описується рівняннями:

${\displaystyle {\begin{matrix}dX/Dt=-\sigma X+\sigma Y;\\dY/dt=rX-Y-XZ;\\dZ/dt=-bZ+XY,\end{matrix}}}$

де ${\displaystyle \sigma ,r,b}$ - числові сталі (${\displaystyle \sigma }$ - Число Прандтля, ${\displaystyle r}$ - відношення Числа Релея до його критичного значення, за якого починається роликова конвекція)^[1].

Приклади

• Перетворення пекаря

Див. також

• Синергія
• Перемішування
• Теорія більярдів
• Теорема Біркгофа
• Детермінований хаос
• Ланцюги Маркова
• Ергодична теорема
  • Ергодична теорема Біркгофа — Хінчина
• Кібертекст
• Ергодичний процес

Література

• Скороход А. В. Елементи теорії ймовірностей та випадкових процесів. — Київ : Вища школа, 1975. — 296 с.
• Скороход А. В. Лекції з теорії випадкових процесів. — Київ : Либідь, 1990. — 168 с. — ISBN 5-11-001701-8.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Єжов С.М. Теорія ймовірностей, математична статистика і випадкові процеси: Навчальний посібник. — Київ : ВПЦ "Київський університет", 2001. — 112 с.
• Корнфельд И. П., Синай Я. Г., Фомин С. В. Эргодическая теория. — М. : Наука, 1980. — 384 с.
• Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. — М. : ГИТТЛ, 1949. — 448 с.
• Синай Я. Г. Введение в эргодическую теорию. — М. : Фазис, 1996. — 132 с.
• Халмош П. Лекции по эргодической теории. — М. : ИЛ, 1959. — 148 с.
• Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — М.-Л. : ГИТТЛ, 1943. — 128 с.
• G. D. Birkhoff, Proof of the ergodic theorem, (1931), Proc Natl Acad Sci U S A, 17 pp 656—660.
• J. von Neumann, Proof of the Quasi-ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 70-82.
• J. von Neumann, Physical Applications of the Ergodic Hypothesis, (1932), Proc Natl Acad Sci U S A, 18 pp 263—266.
• U. Krengel. Ergodic Theorems. Berlin — New York: W. de Gruyter, 1985.