Згортка (математичний аналіз)

Зго́ртка (англ. convolution) — математична операція двох функцій ${\displaystyle f(t)}$ та ${\displaystyle g(t)}$, що дозволяє отримати третю функцію:

${\displaystyle (f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )d\tau }$

Згортка двох квадратних імпульсів: результатом є імпульс трикутної форми. Одна з функцій (в даному випадку g) спочатку відображається черезз ${\displaystyle \tau =0}$ і тоді зсувається на t, результатом є ${\displaystyle g(t-\tau )}$. Площа під кривою, що є добутком цих функцій і є згорткою по t. Горизонтальна вісь це ${\displaystyle \tau }$ для f і g, і t для ${\displaystyle f\ast g}$

Згортка квадратного імпульсу (вхідний сигнал) з імпульсом відповіді в RC колі для отримання кривої вихідного сигналу. Інтеграл добутку — це площа жовтої ділянки.

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Згортка.

Основною властивістю згортки є те, що фур'є-образ згортки пропорційний добутку фур'є-образів функцій.

Згортка на групах

Нехай ${\displaystyle G}$ — група Лі, оснащена мірою Хаара ${\displaystyle m}$, і ${\displaystyle f,g:G\to \mathbb {R} }$ — дві функції, визначенні на ${\displaystyle G}$. Тоді їх згорткою називається функція

${\displaystyle f*g(x)=\int \limits _{G}f(y)\,g\left(xy^{-1}\right)\,m(dy),\quad \forall x\in G}$.

Властивості

• Комутативність:

${\displaystyle f*g=g*f.}$

• Асоціативність:

${\displaystyle f*(g*h)=(f*g)*h.}$

• Лінійність (дистрибутивність щодо додавання і асоціативність добутку з скаляром):

${\displaystyle (f_{1}+f_{2})*g=f_{1}*g+f_{2}*g,\quad }$

${\displaystyle f*(g_{1}+g_{2})=f*g_{1}+f*g_{2},\quad }$

${\displaystyle (af)*g=a(f*g)=f*(ag),\quad \forall a\in \mathbb {R} .}$

• Правило диференціювання:

${\displaystyle \mathrm {D} (f*g)=\mathrm {D} f*g=f*\mathrm {D} g,}$

де ${\displaystyle \mathrm {D} f}$ означає похідну функції ${\displaystyle f}$.

• Перетворення Лапласа:

${\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(x)*g(x)\}={\mathcal {L}}\{f(x)\}\cdot {\mathcal {L}}\{g(x)\}.}$

• Перетворення Фур'є:

${\displaystyle {\mathfrak {F}}[f*g]={\mathfrak {F}}[f]\cdot {\mathfrak {F}}[g],}$

де ${\displaystyle {\mathfrak {F}}[]}$ означає перетворення Фур'є функції.

Якщо ${\displaystyle {\mathcal {W}}}$ є матрицею дискретного перетворення Фур'є, то

${\displaystyle {\mathcal {W}}(C^{(1)}x\ast C^{(2)}y)=({\mathcal {W}}C^{(1)}\bullet {\mathcal {W}}C^{(2)})(x\otimes y)={\mathcal {W}}C^{(1)}x\circ {\mathcal {W}}C^{(2)}y}$,

де ${\displaystyle \bullet }$ — символ торцевого добутку матриць^{[1][2][3][4][5]}, ${\displaystyle \otimes }$ означає добуток Кронекера, ${\displaystyle \circ }$ — символ добутку Адамара (тотожність є розвитком властивості відлікового скетча^[6]).

Застосування

Гаусове розмиття може використовуватись щоб отримати гладке монохромне зображення з півтонового друку

Згортки та пов'язані операції знаходять багато застосувань в науці, інженерії та математиці.

• В обробці зображень:

Згортка в обробці зображень використовується в багатьох фільтрах, наприклад для розмиття, чи виявлення контурів.

В фотографії, несфокусована фотографія є згорткою чіткого зображення з функцією лінзи. Фотографічний термін для цього поняття — Боке.

• В статистиці, зважене рухоме середнє є згорткою.
• Згорткові нейронні мережі застосовують багато каскадів ядер згорток для застосування в областях комп'ютерного зору та штучного інтелекту

Приклад програми

Нижче наведено приклад згортки, написаний на С++ :

/*
 * Розмір вихідної послідовності рівний M + N - 1 
 */
double * conv(double * x, int N, double * h, int M)
{
    double * result = new double[N + M - 1];
    memset(result, 0, sizeof(double) * (N + M - 1));

    for (int i = 0; i < N; ++i)
    {
        for (int j = 0; j < M; ++j)
        {
            result[i + j] += x[i] * h[j];
        }
    }

    return result;
}

Див. також

• Зворотня згортка (математичний аналіз)