Зліченна множина

Зліченна множина — в теорії множин така нескінченна множина, елементи якої можна занумерувати натуральними числами. Множина, яка не є зліченною, називається незліченною. Таким чином, будь-яка множина є або скінченною, або зліченною, або незліченною.

Формально: множина Y є зліченною, якщо існує бієкція f: Y → N, де N — множина натуральних чисел. Тобто зліченна множина — це множина, рівнопотужна множині натуральних чисел.

Зліченна множина є найменшою нескінченною множиною в тому розумінні, що в будь-якій нескінченній множини знайдеться зліченна підмножина.

Властивості

1. Будь-яка підмножина зліченної множини або зліченна, або скінченна.
2. Об'єднання скінченної або зліченної кількості зліченних множин є зліченним.
3. Декартів добуток скінченної кількості зліченних множин є зліченним.
4. Множина всіх скінченних підмножин зліченної множини є зліченною.
5. Якщо множина A нескінченна, а множина B скінченна або зліченна, то A∪B — рівнопотужна A.
6. За теоремою Кантора, потужність довільної множини є меншою, ніж потужність її булеану (множини всіх її підмножин). Звідси випливає, що булеан множини натуральних чисел є незліченною множиною.

Приклади

Зліченні множини

• Прості числа
• Натуральні числа
• Цілі числа
• Раціональні числа
• Алгебричні числа
• Кільце періодів
• Рекурсивні числа
• Арифметичні числа
• Множина всіх скінчених слів над скінченим чи зліченним алфавітом
• Довільне нескінченне сімейство неперетинних відкритих інтервалів на дійсній осі
• Множина всіх прямих на площині, кожна з яких містить принаймні 2 точки з раціональними координатами
• Довільна нескінченна множина точок на площині, всі попарні відстані між елементами якої раціональні

Незліченні множини

• Дійсні числа
• Комплексні числа
• Числа Келі

Див. також

• Незліченна множина
• Континуум
• Скінченна множина

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ(інші мови), 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)