Кластеризація методом к–середніх

Кластериза́ція ме́тодом k-сере́дніх (англ. k-means clustering) — популярний метод кластеризації, — впорядкування множини об'єктів у порівняно однорідні групи. Винайдений в 1950-х роках математиком Гуґо Штайнгаузом^[1] і майже одночасно Стюартом Ллойдом^[2]. Особливу популярність отримав після виходу роботи МакКвіна (1967)^[3].

Мета методу — розділити n спостережень на k кластерів, так щоб кожне спостереження належало до кластера з найближчим до нього середнім значенням. Метод базується на мінімізації суми квадратів відстаней між кожним спостереженням та центром його кластера, тобто функції

${\displaystyle \,\sum _{i=1}^{N}d(x_{i},m_{j}\,(x_{i}))^{2}\ }$,

де d — метрика, ${\displaystyle x_{i}}$ — і-ий об'єкт даних, а ${\displaystyle m_{j}(x_{i})}$ — центр кластера, якому на j-ій ітерації приписаний елемент ${\displaystyle x_{i}}$.

Історія

Термін «k-середні» уперше вжив Джеймс МакКвін (англ. James MacQueen) у 1967 році^[3], хоча ідею методу вперше озвучив Гуґо Штайнгауз (англ. Hugo Steinhaus) у 1957 році^[1]. Стандартний алгоритм вперше запропонував Стюарт Лойд (англ. Stuart Lloyd) у 1957 р^[2].

Алгоритм

Опис алгоритму

Маємо масив спостережень (об'єктів), кожен з яких має певні значення за рядом ознак. Відповідно до цих значень об'єкт розташовується у багатовимірному просторі.

1. Дослідник визначає кількість кластерів ${\displaystyle k}$, що необхідно утворити
2. Випадковим чином обирається ${\displaystyle k}$ спостережень, які на цьому кроці вважаються центрами кластерів
3. Кожне спостереження «приписується» до одного з ${\displaystyle k}$ кластерів — того, відстань до якого найкоротша
4. Розраховується новий центр кожного кластера як елемент, ознаки якого розраховуються як середнє арифметичне ознак об'єктів, що входять у цей кластер
5. Відбувається така кількість ітерацій (повторюються кроки 3-4), поки кластерні центри стануть стійкими (тобто при кожній ітерації в кожен кластер потрапляють одні й ті самі об'єкти), дисперсія всередині кластера буде мінімізована, а між кластерами — максимізована

Вибір кількості кластерів робиться на основі дослідницької гіпотези. Якщо її немає, то рекомендують спочатку створити 2 кластери, далі 3, 4, 5, порівнюючи отримані результати.

• Демонстрація алгоритму
• 
  1. ${\displaystyle k}$ початкових «середніх» (тут ${\displaystyle k=3}$) випадково згенеровані у межах домени даних (кольорові).
• 
  2. створено ${\displaystyle k}$ кластерів, асоціюючи кожне спостереження з найближчим середнім. Розбиття відбувається згідно з діаграмою Вороного утвореною середніми.
• 
  3. Центроїд кожного з ${\displaystyle k}$ кластерів стає новим середнім.
• 
  4. Кроки 2 і 3 повторюються до досягнення збіжності.

Принцип дії

Принцип алгоритму полягає в пошуку таких центрів кластерів та наборів елементів кожного кластера при наявності деякої функції Ф(°), що виражає якість поточного розбиття множини на k кластерів, коли сумарне квадратичне відхилення елементів кластерів від центрів цих кластерів буде найменшим:

${\displaystyle V=\sum _{i=1}^{k}\sum _{x_{j}\in S_{i}}(x_{j}-\mu _{i})^{2}}$

де ${\displaystyle k}$ — число кластерів, ${\displaystyle S_{i}}$ — отримані кластери, ${\displaystyle i=1,2,\dots ,k}$, ${\displaystyle \mu _{i}}$ — центри мас векторів ${\displaystyle x_{j}\in S_{i}}$.

У початковий момент роботи алгоритму довільним чином обираються центри кластерів, далі для кожного елемента множини ітеративно обраховується відстань від центрів з приєднанням кожного елемента до кластера з найближчим центром. Для кожного з отриманих кластерів обчислюються нові значення центрів, намагаючись при цьому мінімізувати функцію Ф(°), після чого повторюється процедура перерозподілу елементів між кластерами.

Алгоритм методу «Кластеризація за схемою к-середніх»:

• вибрати k інформаційних точок як центри кластерів поки не завершиться процес зміни центрів кластерів;
• зіставити кожну інформаційну точку з кластером, відстань до центра якого мінімальна;
• переконатися, що в кожному кластері міститься хоча б одна точка. Для цього кожний порожній кластер потрібно доповнити довільною точкою, що розташована «далеко» від центра кластера;
• центр кожного кластера замінити середнім від елементів кластера;
• кінець.

Переваги

Головні переваги методу k-середніх — його простота та швидкість виконання. Метод k-середніх більш зручний для кластеризації великої кількості спостережень, ніж метод ієрархічного кластерного аналізу (у якому дендограми стають перевантаженими і втрачають наочність).

Недоліки

Одним із недоліків простого методу є порушення умови зв'язності елементів одного кластера, тому розвиваються різні модифікації методу, а також його нечіткі аналоги (англ. fuzzy k-means methods), у яких на першій стадії алгоритму допускається приналежність одного елемента множини до декількох кластерів (із різним ступенем приналежності).

Попри очевидні переваги методу, він має суттєві недоліки:

1. Результат класифікації сильно залежить від початкових позицій кластерних центрів
2. Алгоритм чутливий до викидів, які можуть викривлювати середнє
3. Кількість кластерів має бути заздалегідь визначена дослідником

Застосування

Метод k-середніх є доволі простим і прозорим, тому успішно застосовується в різноманітних галузях — маркетингових сегментаціях, геостатистиці, астрономії, сільському господарстві тощо^{[джерело?]}.

Див. також

• Моделювання
• Сегментація зображення
• Алгоритм Ллойда
• Спектральна кластеризація