Клітка (теорія графів)

У Вікіпедії є статті про інші значення цього терміна: Клітка (значення).

n-клітка — кубічний граф обхвату n з найменшим можливим числом вершин. Граф називається кубічним, якщо з кожної його вершини виходять 3 ребра. Обхват графа — це довжина найменшого циклу в ньому.

• 3-клітка — К₄, остов тетраедра, 4 вершини.
• 4-клітка — К_3,3, один з двох мінімальних не планарних графів, 6 вершин.
• 5-клітка — граф Петерсена, 10 вершин. Мінімальний кубічний граф з індексом самоперетину 2.
• 6-клітка — граф Хівуда, 14 вершин. Розбивається на 1-фактори (тобто, реберно розфарбовуємий), будь-яка сума двох чинників утворює гамільтонів цикл. Мінімальний кубічний граф з індексом самоперетину 3.
• 7-клітка — граф Маꥳ, 24 вершини. Мінімальний кубічний граф з індексом самоперетину 8.
• 8-клітка — граф Татта — Коксетера, 30 вершин.

Граф Петерсена

Граф Хівуда

Граф Маꥳ

Граф Татта — Коксетера

Граф Гофмана — Синглтона

Узагальнене визначення

(r,n)-клітка — регулярний граф ступеня r (тобто з кожної вершини якого виходить рівно r ребер) та обхвату n з найменшим можливим числом вершин.

Тривіальні сімейства

• (2,n)-клітками є, очевидно, циклічні графи C_n
• (r-1,3)-клітки — повні графи К_r з r вершин
• (r,4)-клітки — повні двочасткові графи К_r,r, у яких в кожній долі знаходиться по r вершин

Нетривіальні представники

• (7,5)-клітка — граф Гофмана — Синглтона, 50 вершин.

Відомі ще деякі клітки. У таблиці нижче показано кількість вершин в (r,n)-клітинах ступеня 3≤r≤7 та обхвату 3≤n≤12. Клітки для цих та великих r и n описані тут: (англійською мовою).

n:	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
r = 3:	4	6	10	14	24	30	58	70	112	126
r = 4:	5	8	19	26	67	80	275	384		728
r = 5:	6	10	30	42	152	170				2730
r = 6:	7	12	40	62	294	312				7812
r = 7:	8	14	50	90

Графи Мура

Докладніше: Граф Мура

Кількість вершин в (r,n)-клітці більше або дорівнює

${\displaystyle 1+r\sum _{i=0}^{(n-3)/2}(r-1)^{i}}$ для непарних n та

${\displaystyle 2\sum _{i=0}^{(n-2)/2}(r-1)^{i}}$ для парних.

Якщо має місце рівність, то відповідний граф називається графом Мура. У той час як клітка існує для будь-яких r > 2 і n > 2, нетривіальних графів Мура набагато менше. З вищезгаданих клітин, графами Мура є граф Петерсена, граф Хівуда, граф Татта — Коксетера і граф Гофмана — Синглтона. Доведено,^[1][2][3] що всі непарні випадки вичерпуються n = 5, r = 2, 3, 7 та, можливо, 57, а парні n = 6, 8, 12.