Коефіцієнт ексцесу

Коефіцієнт ексцесу (англ. kurtosis з грец. κυρτός — кривизна) — числова характеристика розподілу ймовірностей дійсної випадкової величини, а саме, четвертий стандартизований момент. Коефіцієнт ексцесу характеризує «крутість», тобто, стрімкість підвищення кривої розподілу у порівнянні з нормальною кривою.^[1]

Графік щільності розподілу Пірсона VII типу; нескінченний ексцес (червона), 2 (синя), та 0 (чорна) криві.

Визначення

Ексцесом ${\displaystyle \gamma _{2}}$ (за Фішером) теоретичного розподілу називають характеристику, що обчислюється за такою формулою:^[1]

${\displaystyle \gamma _{2}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}-3}$,

де ${\displaystyle \mu _{4}}$ — центральний момент четвертого порядку, ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ — дисперсія.

Оцінка ексцесу

Оцінка ексцесу (за Фішером) ${\displaystyle \gamma _{2}}$ дорівнює:^[2]

${\displaystyle g_{2}={\frac {k_{4}}{k_{2}^{2}}},}$

де ${\displaystyle k}$ є k-статистиками.

Дисперсія оцінки для нормального розподілу дорівнює:

${\displaystyle \mathrm {var} (g_{2})\approx {\frac {24}{N}}.}$

Коефіцієнт ексцесу Пірсона

Коефіцієнт ексцесу Пірсона ${\displaystyle \beta _{2}}$ (англ. Pearson Kurtosis) дорівнює:^[2]

${\displaystyle \beta _{2}\equiv {\frac {\mu _{4}}{\mu _{2}^{2}}}.}$

Властивості

Для нормального розподілу ${\displaystyle (\mu _{4}/\sigma ^{4})=3}$; що власне і було причиною введення доданку (-3), щоб ексцес нормального розподілу дорівнював нулю.

Якщо ексцес деякого розподілу відмінний від нуля, то крива щільності цього розподілу відрізняється від кривої щільності нормального розподілу: якщо ексцес додатній, то крива теоретичного має вищу та «гострішу» вершину ніж крива нормального; якщо ексцес від'ємний, то крива теоретичного має нижчу та «плоскішу» вершину ніж крива нормального. При цьому вважається, що нормальний і теоретичний розподіли мають однакові математичні сподівання та дисперсії.^[1]

Див. також

• Портал «Математика»

• Коефіцієнт асиметрії

Джерела

• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
• Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)