Константа Голомба — Дікмана

У математиці константа Голомба — Дікмана виникає в теорії випадкових перестановок та в теорії чисел. Її значення дорівнює

${\displaystyle \lambda =0{,}62432998854355087099293638310083724\dots }$ послідовність A084945 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS

Поки невідомо, чи є ця константа раціональною, чи ірраціональною.^[1]

Означення

Нехай ${\displaystyle a_{n}}$ буде середнім (взятим за всіма перестановками множини з ${\displaystyle n}$ елементів) значенням довжини найдовшого циклу в кожній перестановці, тоді константа Голомба — Дікмана дорівнює

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}}{n}}.}$

Мовою теорії ймовірностей, ${\displaystyle \lambda n}$ є асимптотою математичного сподівання довжини найдовшого циклу рівномірно розподіленої випадкової перестановки множини з ${\displaystyle n}$ елементів.

У теорії чисел константа Голомба — Дікмана потрібна у зв'язку із середнім значенням довжини найбільшого простого дільника цілого числа. Більш точно,

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=2}^{n}{\frac {\log(P_{1}(k))}{\log(k)}},}$

де ${\displaystyle P_{1}(k)}$ — найбільший простий дільник числа ${\displaystyle k}$. Таким чином, якщо ${\displaystyle k}$ — ${\displaystyle d}$-значне ціле число, то ${\displaystyle \lambda d}$ — асимптота середнього значення кількості знаків найбільшого простого дільника числа ${\displaystyle k}$.

Константу Голомба — Дікмана можна зустріти в теорії чисел також і в іншій ситуації. Яка ймовірність того, що другий за величиною простий дільник числа ${\displaystyle n}$ менший від квадратного кореня з найбільшого простого множника числа ${\displaystyle n}$? Асимптотично ця ймовірність дорівнює ${\displaystyle \lambda }$, точніше:

${\displaystyle \lambda =\lim _{n\to \infty }\operatorname {Prob} \left\{{P_{2}(n)\leq {\sqrt {P_{1}(n)}}}\right\},}$

де ${\displaystyle P_{2}(n)}$ — другий за величиною простий дільник числа ${\displaystyle n}$.

Константа Голомба — Дікмана також з'являється у випадку, коли розглядаємо середню довжину найбільшого циклу функції від скінченної множини із значеннями у цій множині. Нехай ${\displaystyle X}$ — скінченна множина, тоді, якщо ми повторно застосовуємо функцію ${\displaystyle f\colon X\rightarrow X}$ до будь-якого елементу ${\displaystyle X}$ цієї множини, то він входить в цикл, і для деякого ${\displaystyle k}$ маємо: ${\displaystyle f^{n+k}(x)=f^{n}(x)}$ при достатньо великому ${\displaystyle n}$. Найменше ${\displaystyle k}$ з цією властивістю — довжина циклу. Нехай ${\displaystyle b_{n}}$ буде середнім значенням довжини циклу, взятим за всіма функціями від множини розмірності ${\displaystyle n}$ із значеннями у цій множині. Пурдон і Вільямс^[2] довели, що

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{\sqrt {n}}}={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\lambda .}$

Формули

Константа ${\displaystyle \lambda }$ може бути предсталена декількома способами:

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{1}{\rm {e}}^{\operatorname {Li} (t)}\operatorname {d} t,}$

де ${\displaystyle \operatorname {Li} (t)}$ — інтегральний логарифм;

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\rm {e}}^{-t-E_{1}(t))}\operatorname {d} t,}$

де ${\displaystyle E_{1}(t)}$ — експоненціальний інтеграл;

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{t+2}}\operatorname {d} t}$

та

${\displaystyle \lambda =\int _{0}^{\infty }{\frac {\rho (t)}{(t+1)^{2}}}\operatorname {d} t,}$

де ${\displaystyle \rho (t)}$ — функція Дікмана^[en].

Див. також

• Випадкова перестановка
• Статистика випадкових перестановок^[en]

Посилання

• Weisstein, Eric W. Golomb-Dickman Constant(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• Finch, Steven R. (2003). Mathematical Constants. Cambridge University Press. с. 284–286. ISBN 0-521-81805-2.