Критерій регулярності Адамара

Критерій регулярності Адамара — твердження про невиродженість діагонально панівної матриці.

Теорема Адамара

Домінування діагонального елемента матриці в рядку називається умовою Адамара:

${\displaystyle H_{i}\equiv |a_{ii}|-\sum _{j\neq i}^{n}|a_{ij}|>0\quad (i=1,2\ldots n).}$

Теорема стверджує, що якщо для всіх рядків матриці виконується умова Адамара, то матриця є невиродженою.

Доведення. Проведем його від супротивного. Доведемо що у виродженій матриці умова Адамара порушується в одному з рядків.

Припу́стимо, що матриця вироджена, тобто ${\displaystyle |A|=0}$. Тоді є такі числа ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots x_{n}}$ з максимальним ${\displaystyle |x_{k}|>0}$, що

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{kj}x_{j}=0.}$

Але тоді

${\displaystyle |a_{kk}|\cdot |x_{k}|\leq \sum _{j\neq i}^{n}|a_{kj}|\cdot |x_{j}|\leq |x_{k}|\sum _{j\neq i}^{n}|a_{kj}|.}$

Скорочуючи на ${\displaystyle |x_{k}|}$, отримуємо

${\displaystyle |a_{kk}|\leq \sum _{j\neq i}^{n}|a_{kj}|,}$

що є порушенням умови Адамара.

Наслідок. Якщо виконуються умови Адамара, то для ${\displaystyle \mod |A|}$ справедлива наступна оцінка знизу:

${\displaystyle \mod |A|\geq H_{1}H_{2}\ldots H_{n}>0.}$

Теорема Таусскі

Послабленими умовами Адамара називаються нерівності:

${\displaystyle H_{i}\geq 0\quad (i=1,2\ldots n).}$

Теорема стверджує, що для нерозкладної матриці, для рядків якої виконуються послаблені умови Адамара, і для принаймі одного з рядків виконується звичайна умова Адамара, то така матриця є невиродженою.

Зауваження. Обидві теореми і наслідок справедливі також для стовпців матриці.

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. Теорія матриць. — 2025. — 757 с.(укр.)
• Гантмахер Ф. Р., Крейн М. Г. Осциляційні матриці та ядра та малі коливання механічних систем. — 2025. — 400 с.(укр.)