Лампочка Мандельброта

Лампочка Мандельброта — тривимірний фрактал, аналог множини Мандельброта, створений Деніелом Вайтом та Полом Ніландером, з використанням гіперкомплесної алгебри що базується на сферичних координатах.^[1]

Зображення лампочки Мандельброта отримане за допомогою трасування променів.
Ітерація ${\displaystyle z\mapsto z^{8}+c}$.

Формула для n-того степеня тривимірного гіперкомплексного числа${\displaystyle \langle x,y,z\rangle }$ така:

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \cos(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\phi )\rangle }$

де

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arctan(y/x)\\{\rm {and\ }}\phi &=\arctan(z/{\sqrt {x^{2}+y^{2}}})=\arcsin(z/r).\end{aligned}}}$

Вони використали ітерацію ${\displaystyle z\mapsto z^{n}+c}$, де z та c — тривимірні гіперкомплексні числа, на яких операція піднесення до натурального степеня виконується як вказано вище.^[2] Для n > 3, результатом є тривимірний фрактал. Найчастіше використовують восьмий степінь.