Локальний час

У математичній теорії випадкових процесів, локальний час є випадковим процесом, пов'язаним із процесами дифузії, як от броунівським рухом, який характеризує кількість часу, проведеного частинкою на даному рівні. Локальний час дуже корисний і часто з'являється у багатьох формулах стохастичної інтеграції, якщо підінтегральна функція не достатньо гладка, так як формула Танаки.

Вибіркова траєкторія процесу Іто разом із поверхнею локальних часів.

Формальне визначення

Математично, локальний час визначається так:

${\displaystyle \ell (t,x)=\int _{0}^{t}\delta (x-b(s))\,ds}$

де b(s) — процес дифузії, δ — Дельта-функція Дірака. Це поняття було введено Полем Леві. Основна ідея полягає в тому, що ℓ(t, x) — (перенормована) міра часу, який b(s) провів у x до часу t. Можна записати:

${\displaystyle \ell (t,x)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {1}{2\varepsilon }}\int _{0}^{t}1\{x-\varepsilon <b(s)<x+\varepsilon \}\,ds,}$

що пояснює, чому цю величину називають локальним часом b у x.

Див. також

• Формула Танака
• Броунівський рух
• Червоний шум, також відомий як броунівський або коричневий шум (Мартін Гарднер запропонував цю назву для звуку, згенерованого випадковими інтервалами; назва є грою слів броунівський рух і білий шум.)
• Рівняння дифузії

Джерела

• Скороход А. В. Лекції з теорії випадкових процесів. — Київ : Либідь, 1990. — 168 с. — ISBN 5-11-001701-8.
• Гнєденко Б. В. Курс теорії ймовірностей. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2010. — 464 с.
• Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
• K. L. Chung and R. J. Williams, Introduction to Stochastic Integration, 2nd edition, 1990, Birkhäuser, ISBN 978-0817633868 .