Покриття множини

В математиці, покриттям множини ${\displaystyle X}$ називають сімейство множин, об'єднання яких містить ${\displaystyle X}$ як підмножину. Формальною мовою, якщо

${\displaystyle C=\lbrace U_{\alpha }:\alpha \in A\rbrace }$

є індексованим сімейством множин ${\displaystyle U_{\alpha }}$, тоді ${\displaystyle C}$ є покриттям для ${\displaystyle X}$, якщо

${\displaystyle X\subseteq \bigcup _{\alpha \in A}U_{\alpha }.}$

Означення

Покриття множини ${\displaystyle X}$ — це сімейство ${\displaystyle C=\{O_{\alpha }\}}$ таких множин ${\displaystyle O_{\alpha }}$, об'єднання яких містить задану множину:

${\displaystyle X\subseteq \bigcup O_{\alpha }}$

Якщо всі множини, що входять в цю сім'ю, є відкритими (є елементами топології), то таке покриття називають відкритим. Будь-яка підмножина із сімейства покриття ${\displaystyle D\subset C}$, яка теж є покриттям для ${\displaystyle X}$ називається підпокриттям множини ${\displaystyle X}$.

Відкрите покриття:

Якщо ${\displaystyle (X,\;{\mathcal {T}})}$ —— топологічний простір і ${\displaystyle A}$ підмножина ${\displaystyle X}$, то відкритим покриттям множини ${\displaystyle A}$ називається такий набір ${\displaystyle \{O_{\alpha }\}}$ відкритих множин ${\displaystyle O_{\alpha }}$, який її містить:

${\displaystyle A\in \subset \bigcup \limits _{\alpha }O_{\alpha }}$

Піднабір з ${\displaystyle \{O_{\alpha }\}}$ який теж містить ${\displaystyle A}$ називають підпокриттям.

Подрібнення

Подрібненням ${\displaystyle D}$ покриття ${\displaystyle C}$ називається таке покриття, кожна множина якого міститься хоча б в одній з множин ${\displaystyle C}$. Нехай ${\displaystyle C=\{O_{\alpha }\}}$ — покриття множини ${\displaystyle X}$. Покриття ${\displaystyle D=\{V_{\beta }\}}$ називатиметься подрібненням ${\displaystyle C}$, якщо:

${\displaystyle \forall \beta \ \exists \alpha \ V_{\beta }\subseteq O_{\alpha }}$.

Кожне підпокриття є подрібненням, проте не навпаки.

Локально-скінченне покриття

Покриття топологічного простору ${\displaystyle \{V_{\beta }\}}$ називається локально-скінченним, якщо будь-яка точка топологічного простору має такий окіл, що перетинається лише із скінченною кількістю множин покриття:

${\displaystyle \forall x\in X\,\exists W,\,W\cap V_{\beta }\neq \emptyset ,\beta =1\ldots N}$, ${\displaystyle W}$ — окіл ${\displaystyle x}$

Див. також

• Задача про покриття множини
• Лема Гейне — Бореля
• Нерв покриття

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Introduction to Topology, Second Edition, Theodore W. Gamelin & Robert Everist Greene. Dover Publications 1999. ISBN 0-486-40680-6
• General Topology, John L. Kelley. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.