Лінійне рівняння

Лінійне рівняння — рівняння, обидві частини якого визначають лінійними функціями. Найпростіший випадок має вигляд

${\displaystyle a\cdot x=b}$

Графічне зображення лінійних рівнянь.

Числа а і b є коефіцієнтами лінійного рівняння: а — кутовий коефіцієнт при змінній і дорівнює тангенсу кута, що утворює графік функції з додатнім напрямком осі абсцис(X), b — вільний член, показує координату точки перетину графіка з віссю ординат(Y).

Отримали назву лінійних через те, що визначають лінію на площині або в просторі.

У загальному випадку лінійним рівнянням є рівняння, що має наступну форму:

${\displaystyle a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}+b=0,}$

де ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ — змінні (невідомі або невизначені) рівняння, а ${\displaystyle b,a_{1},\ldots ,a_{n}}$ — коефіцієнти, що як правило є дійсними числами. Коефіцієнти можна розглядати як параметри рівняння, і можуть задаватися як довільні вирази, які не повинні мати ніяких змінних.

Розв'язком такого рівняння будуть такі значення, які можна підставити замість невідомих, так що рівність стане істиною.

Властивості лінійних рівнянь

• Якщо ${\displaystyle a\neq 0}$, рівняння має єдиний розв'язок:

${\displaystyle x={\frac {b}{a}}}$

• Якщо тільки ${\displaystyle a=0}$, рівняння не має жодного кореня:

${\displaystyle x\cdot 0=b}$

• Якщо ж і ${\displaystyle a=0}$ і ${\displaystyle b=0}$, рівняння має безліч коренів:

${\displaystyle x\cdot 0=0}$

Спрощення рівняння до лінійного

Виконувати в такій послідовності:

1. Позбутися знаменників, якщо вони є.
2. Розділити рівняння на лінійні, якщо його подано у вигляді рівного нулеві добутку сум.
3. Розкрити дужки, якщо вони є. Якщо після цього утворилося багато членів у будь-якій його частині, то доцільно спочатку звести подібні доданки, а потім виконувати переноси.
4. Перенести члени зі змінними в ліву частину, а числа — в праву.
5. Звести подібні доданки.
6. Знайти корені.

Див. також

• Лінійна функція
• Лінійне диференційне рівняння
• Позбавлення від знаменників
• Система лінійних алгебраїчних рівнянь

Джерела

• Завало С. Т. (1985). Курс алгебри. Київ: Вища школа. с. 503. (укр.)