Магнітна жорсткість

Магні́тна жо́рсткість — фізична величина, що визначає вплив магнітного поля на рух зарядженої частинки.

Фізична величина
Назва		Магнітна жорсткість
Вид величини		скалярна величина
Позначення величини		${\displaystyle \xi \ }$
Позначення для розмірності		L2MT-3I-1
Системи величин і одиниць	Одиниця		Розмірність
SI	Тл·м
СГСЕ (Ел-стат.)	статвольт
СГСМ (Ел-магн.)	абвольт

Магнітна жорсткість ${\displaystyle \xi \ }$ виражається відношенням «енергії» частинки до її електричного заряду^[1]:

${\displaystyle \xi ={\frac {pc}{q}}={\frac {\gamma mv}{q}},}$

де

• ${\displaystyle p\ }$ — імпульс частинки;
• ${\displaystyle c\ }$ — швидкість світла у вакуумі;
• ${\displaystyle q\ }$ — електричний заряд частинки;

Одиниці вимірювання магнітної жорсткості — тесла-метр (Тл·м) в СІ і статвольт або абвольт в СГС.

Рух частинок у магнітному полі

З рівності сили Лоренца і відцентрової сили можна отримати співвідношення

Докладне виведення

На заряджену частинку, що рухається в постійному магнітному полі ${\displaystyle \mathbf {B} \ }$ зі швидкістю ${\displaystyle \mathbf {v} \ }$, діє сила Лоренца (в системі СГС)

${\displaystyle {\mathbf {F} }=(q/c)[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ]\ }$.

За другим законом Ньютона, рівняння руху записуються як

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}(m\mathbf {v} )={\frac {q}{c}}[\mathbf {v} \times \mathbf {B} ],}$

де для релятивістського руху маса частинки визначається через масу спокою ${\displaystyle m_{0}\ }$ як

${\displaystyle m=m_{0}/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.}$

Сила Лоренца, напрямлена перпендикулярно до вектора швидкості та вектора магнітної індукції, роботи не виконує, тому модуль швидкості частинки та її релятивська маса в постійному магнітному полі не змінюватимуться. Змінюватиметься тільки напрям вектора швидкості, причому паралельна до поля складова швидкості ${\displaystyle \mathbf {v_{y}} ||\mathbf {B} \ }$ залишатиметься сталою, а перпендикулярна складова ${\displaystyle \mathbf {v_{x}} \bot \mathbf {B} \ }$ повертатиметься. Таким чином,

${\displaystyle m{\frac {d\mathbf {v_{x}} }{dt}}={\frac {q}{c}}[\mathbf {v_{x}} \times \mathbf {B} ],}$

де ${\displaystyle {\frac {dv_{x}}{dt}}={\frac {v_{x}^{2}}{R}}}$ буде доцентровим прискоренням. Зважаючи на те, що проєкція імпульсу на площину, перпендикулярну до ${\displaystyle \mathbf {B} \ }$, дорівнює ${\displaystyle p_{x}=mv_{x}\ }$, маємо

${\displaystyle {\frac {mv_{x}\cdot v_{x}}{R}}={\frac {q}{c}}v_{x}B\quad \Rightarrow \quad {\frac {p_{x}c}{q}}=BR.}$

Траєкторією частинки буде спіраль з радіусом кривини ${\displaystyle R\ }$, «накручена» на силову лінію.

${\displaystyle pc/q=BR,\ }$

де ${\displaystyle B\ }$ — індукція магнітного поля, ${\displaystyle R\ }$ — ларморів радіус, а ${\displaystyle p\ }$— проєкція імпульсу на площину, перпендикулярну до напрямку поля ${\displaystyle \mathbf {B} \ }$. Таким чином, магнітна жорсткість чисельно дорівнює^[1]

${\displaystyle \xi ={\frac {pc}{q}}=BR.}$

Частинки з однаковою жорсткістю будуть рухатися по однакових траєкторіях.

Див. також

• Ларморів радіус
• Мас-спектрометрія